Hyperbel

En hyperbel er en kurve defineret af en matematisk funktion, der har formen y = \frac{a}{x}.

Her er a en konstant. Det kræves derudover at x != 0, da man ikke må dividere med 0


Hyperbel af funktionen y = \frac{1}{x}.

Hyperbler er blandt andet genkendelige på grund af, at x er forskellig fra nul. Det betyder nemlig at grafen aldrig skærer y-aksen, men kun nærmer sig.

Vi siger i dette tilfælde, at grafen har en lodret asymptote omkring y-aksen, eller i x = 0. Da x ikke kan være nul vil det, i tilfældet y = 1/x, sige at y heller ikke kan være nul. I tilfældet af at en hyperbel-funktion ikke kan tage en bestemt y-værdi, siger vi at grafen har en vandret asymptote.

En hyperbel er et såkaldt keglesnit. De tre andre keglesnit er cirkler, parabler og ellipser.

Proportionalitet

Proportionalitet er et matematisk begreb, der bruges når man taler om funktioner. Alle funktioner fungerer således, at når man indsætter et tal, x, i funktionen, så giver funktionen et tal tilbage, y. Egenskaben proportionalitet handler om forholdet mellem x og y. En funktion er proportional, hvis y stiger når x stiger og y falder når x falder.

At have en proportional funktion betyder matematisk at der er et konstant forhold mellem x og y:

y = a \cdot x

Her er a proportionalitetskonstanten. Lige meget hvilken værdi a har, vil en proportional funktion altid have den egenskab at når man indsætter højere værdier af x i funktionen får man højere værdier af y. Omvendt når man giver den lavere værdier af x får man lavere værdier af y.

Omvendt proportionalitet

Omvendt proportionalitet er, som navnet antyder, den omvendte egenskab af proportionalitet. Det vil sige, en omvendt proportional funktion har egenskaben at, hvis x stiger, vil y falde og hvis x falder, vil y stige.

At have en omvendt proportional funktion betyder matematisk, ligesom for den proportionale, at der er et konstant forhold mellem x og y:

y = \frac{a}{x}

a er proportionalitetskonstanten, der beskriver hvordan x og y stiger og falder i forhold til hinanden. Denne funktion kan også skrives med proportionalitetskonstanten på den anden side af lighedstegnet:

a \cdot y = x

Hvis a er positiv vil y have samme fortegn som x. Det vil sige, hvis man giver en positiv værdi til funktionen får man en positiv værdi tilbage, og giver man en negativ værdi til funktionen får man en negativ værdi tilbage.
Hvis a er negativ vil y have modsat fortegn af x. Altså giver man en positiv værdi til funktionen får man en negativ værdi tilbage, og giver man en negativ værdi får man en positiv tilbage.

En hyperbel er grafen af en funktion, som er omvendt proportional.

Eksempel

Vi viser her et eksempel på en hyperbel.


Hyperbel kurve af funktionen y = \frac{5}{x} + 1.

Ovenstående figur er grafen for den omvendt proportionale funktion:

y = \frac{5}{x} + 1

Som man kan se flytter additionen med et  i funktionen (+1), grafen én op ad y-aksen. Denne hyperbel har en vandret asymptote i y = 1, og en lodret asymptote i x = 0.