"
>

Omvendt proportionalitet

Omvendt proportionalitet er en matematisk egenskab mellem to variabler, som betyder, at deres produkt er en konstant. En funktion kan være omvendt proportional, og i det tilfælde vil x og y have omvendt proportionalitet.

Når to variabler er omvendt proportionale, bevæger de sig modsat af hinanden. Det vil sige, at hvis x og y er omvendt proportionale, så vil y falde, når x stiger, og x vil falde, når y stiger.

Omvendt proportionalitet er, som navnet antyder, den omvendte egenskab af proportionalitet. Proportionalitet betyder at to variabler bevæger sig i samme retning med en konstant faktor imellem dem. En proportional sammenhæng mellem to variabler giver en lineær funktion.

Man skriver omvendt proportionalitet matematisk således:

x \cdot y = a

Altså som beskrevet, de to omvendt proportionale variabler x og y ganget sammen giver en konstant, her kaldet a. Det vil sige, at lige meget hvilke af deres værdier de antager, vil de altid give a ganget sammen.

a er proportionalitetskonstanten, der beskriver hvordan x og y stiger og falder i forhold til hinanden.

En anden måde at skrive dette er med brøkstreg:

y = \frac{a}{x}

Vi ved at nævneren i en brøk får brøken til at falde, når den stiger og omvendt, og derfor virker denne formel som en omvendt proportional sammenhæng mellem x og y.

Da omvendt proportionalitet skrives som en brøk gælder der samme regler som for brøker. For eksempel kan x ikke være 0, da man ikke kan dividere med 0.

Hvis proportionalitetskonstanten a er positiv, vil y have samme fortegn som x. Det vil sige, hvis man giver en positiv værdi til funktionen, får man en positiv værdi tilbage, og giver man en negativ værdi til funktionen, får man en negativ værdi tilbage.

Hvis a er negativ, vil y have modsat fortegn af x. Altså giver man en positiv værdi til funktionen, får man en negativ værdi tilbage, og giver man en negativ værdi, får man en positiv tilbage.

En hyperbel er grafen af en funktion, som er omvendt proportional. Se artiklen Hyperbel.

Eksempel

Vi vil først se på et eksempel på et forhold, der er omvendt proportional. Hvis man kigger på en bil, som skal køre en bestemt distance, 100 kilometer, og man finder ud af, hvor hurtigt den kører, og hvor lang tid det tager, så er tiden, det tager for at køre denne distance, omvendt proportional med hastigheden bilen har.

Altså jo hurtigere bilen kører over denne distance, desto mindre tid vil det tage.

Vi kan skrive det på følgende måde:

\text{Tid i timer} = \frac{Distance i kilometer}{Hastighed i kilometer i timen}

Hvis man for eksempel kører 100 kilometer i timen:

\frac{100 km}{100 km/t} = 1 t

Og med en lavere fart på 50 km i timen:

\frac{100 km}{50 km/t} = 2 t

Vi kan altså se, at de to variabler bevæger sig modsat af hinanden. Hvis man opfatter denne sammenhæng som en funktion, kan vi tegne grafen:


Graf over funktionen for tiden det tager at køre 100 km meter. Vi har hastigheden på x-aksen og tiden på y-aksen.

Grafen viser sammenhængen mellem hastighed og tid, og bekræfter vores to udregninger. Grafen er en hyperbel.

Vi kan se på denne graf, hvordan tiden bevæger sig mere og mere op, jo lavere hastigheden er. Vi kan ikke se enden af grafen i toppen, fordi den bevæger sig mod uendelig.

Vi ved, at hastigheden ikke kan være 0, da man ikke må dividere med 0, men dette giver også god mening, for hvis hastigheden var 0, ville bilen ikke bevæge sig, og vi ville dermed aldrig nå målet på 100 km. Vi ville derfor ikke kunne sige, hvor meget tid det ville tage.