Keglesnit

Keglesnit er i matematik en række kurver, som har det tilfælles, at de kan beskrives som et bestemt snit i en kegle.

De fire kurver er cirkler, ellipser, parabler og hyperbler.


De fire forskellige keglesnit. I øverste række ses keglerne fra oven, og i nederste række ses de fra siden. De stiplede linjer repræsenterer snit.

Cirklen fremkommer ved, at man foretager et snit parallelt med keglens grundflade.

Man får en ellipse, hvis man tager et snit skævt ind på den krumme side af keglen. Altså ethvert snit der ikke er parallelt med grundfladen, men stadig går igennem den krumme overflade hele vejen rundt.

Ofte ses cirklen som et specialtilfælde af ellipsen, da de kun afviger i forhold til den vinkel, de rammer keglen med. Derudover giver begge snit det, vi kalder en lukket kurve. Altså hvis vi følger kurven, kommer vi på et tidspunkt tilbage til samme punkt, som vi startede på.

En parabel fås ved at foretage et snit gennem grundfladen af keglen og ud på den krumme overflade, som ligger parallelt med keglens side. Selvom snittet stopper ved keglens grundflade, fortsætter en parabel ud mod uendelig, hvis man tegner den.

Det sidste keglesnit er hyperblen, som fås ved at snitte vinkelret ind mod grundfladen af keglen. Hvis man tegner en spejlet kegle ud fra keglens spids, får vi resten af hyperblen.


Fire eksempler på de fire keglesnit tegnet som grafer. Den røde graf er en cirkel, den gule en ellipse, den grønne en parabel og den blå en hyperbel

Ovenstående graf viser eksempler på, hvordan de fire keglesnit ser ud, når man tegner dem.

Keglesnit har nogle forskellige egenskaber, som de alle deler. For eksempel kan kurven over et keglesnit altid tegnes ud fra fem punkter. Ligesom en lineær kurve kan defineres ud fra to punkter, kan keglesnit kurver defineres ud fra fem punkter, bare de ikke ligger på en lige linje.

Keglesnit kan defineres som ligninger ud fra to variabler, a og b.

\text{Ellipse: } \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

Variablen a giver os ellipsens højde, og variablen b giver ellipsens bredde.

Cirklen er et specialtilfælde af ellipsen hvor a = b. Man kan dermed skrive ligningen for cirklen således:

\text{Cirkel: } x^2 + y^2 = a^2

Her er a altså lig cirklens radius.

\text{Parabel: } y^2 = 4\cdot a \cdot x

Parabler kan defineres ud fra et fokuspunkt, som kurven bevæger sig omkring, og som her er lig (0, a).

\text{Hyperbel: } \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

Ligningen for en hyperbel ligner meget ligningen for ellipser, bortset fra at y2 er negativ for en hyperbel.