Overfladeareal af cylinder

Overfladeareal af cylinder er den samlede overflade på den tredimensionelle figur cylinder. Således minder begrebet overfladeareal i rumgeometri om omkredsen i plangeometri. Man taler således ikke om omkreds af cylinder, som for en cirkel, men istedet om overfladearealet af en cylinder.

Overflade af cylinder

Overfladearealet af cylindre beregnes ved at finde arealet af alle overfladerne i cylinderen. En cylinder består af en top og en bund, og en krum overflade (hele vejen rundt). 

Her deler vi i første omgang formlen op i to halvdele, først top og bund, derefter den krumme overflade. Til sidst samles de to formler for overfladeareal af cylinder i én formel. 


Cylinder med radius (r) og højden (h) markeret.

Areal af cylinderens grundflader

Arealet af grundfladen, som er cirklerne i top og bund, regnes ligesom arealet af en normal cirkel, altså \pi gange radius i anden potens. Det vil sige at når arealet af både top og bund skal beregnes, skal \pi \cdot r^2 ganges med 2. Formlen for de to grundfladers areal i cylinderen er derfor:

2 \cdot \pi \cdot r^2

Areal af cylinderrøret

Arealet af den krumme overflade af cylinder udregnes med denne formel:

2 \cdot \pi \cdot r \cdot h

Formel til beregning af en cylinders overfladeareal

Når vi samler disse to cylinder-formler, får vi denne formel for det samlede overfladeareal af en cylinder:

Overfladeareal = 2 \cdot \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h

Her kan 2 \cdot \pi \cdot r sættes uden for parentesen, og formlen kommer derfor til at se således ud:

Overfladeareal = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot (h + r)

En cylinders overfladeareal beregnes altså som, to gange \pi gange radius gange summen af højden og radius.

Eksempel 1

Vi beregner i dette eksempel overfladearealet af en cylinder.


Eksempel på cylinder med en radius på 3 cm og en højde på 10 cm.

Denne cylinder har radius 3 cm og højde 10 cm. Vi foretager denne beregning med vores formel for cylinderens overfladeareal:

Overfladeareal = 2 \cdot \pi \cdot 3 \cdot (10 + 3) = \pi \cdot 6 \cdot 13 = 245,04

Vores cylinder har altså et overfladeareal på 245,04 cm^2.

Eksempel 2

Vi har brug for at producere nogle rør ud af papir, som er 20 cm høje og har en radius på 5 cm. Vi skal finde ud af hvor stort et stykke papir (eksemplet forudsætter at der ikke er noget spild) vi skal bruge, for at kunne lave 20 af disse cylinder-formede rør. Rørene har ikke nogen top eller bund. Vi skal altså kun finde arealet af den krumme overflade på cylinderen.

Vi skal altså bruge formlen for arealet af den krumme overflade på en cylinder:

2 \cdot \pi \cdot 5 \, cm \cdot 20 \, cm = 628,32 \, cm^2

For 20 cylindere bliver det:

20 \cdot 628,32 \, cm^2 = 12566,37 \, cm^2

1 kvadratmeter er lig 10.000 kvadratcentimeter. Derfor skal man bruge 1,26 m2 papir, for at kunne producere de 20 cylinder-formede rør.

Eksempel 3

I artiklen Rumfang af cylinder fandt vi ud af hvor meget vand et bassin kunne indeholde. Vi vil nu isolere bassinet med et lag plastik. Vi skal finde ud af hvor stort et areal af plastik vi skal bruge.

Vi har altså en cylinder med bund, men uden top. Altså vil dens overfladeareal-formel være:

\pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h

Radius af cylinderen er 1,25 meter og højden er 1 meter.

\pi \cdot (1,25\, m)^2 + 2 \cdot \pi \cdot 1,25\, m \cdot 1\, m = 12,76 \, m^2

Overfladearealet af cylinderen uden top er altså 12,76 m2. Så vi skal altså bruge plastik med dette areal for at isolere bassinet.