Rumfang af cylinder

Rumfang af cylinder er et mål for, hvor meget en cylinder fylder i rummet og er derfor en del af det matematiske hovedemne rumgeometri. En cylinders rumfang kan også kaldes dens volumen. Derfor bruges ofte bogstavet V i beregninger af cylinderes volumen.

Se endvidere artiklen Overfladeareal af cylinder.


Cylinder.

Rumfang af en cylinder beregnes med en formel, der bruger cylinderens højde h, som er længden af røret mellem cirklerne og dens radius r, som er radius af cirklerne i top og bund. Vi bruger denne formel:

V = \pi \cdot r^2 \cdot h

Cylinderens rumfang er altså lig \pi gange radius i anden potens gange højden.

Man kan nogen gange komme ud for en cylinder, der ikke er lige. Det vil sige en cylinder, hvor top og bund stadig er parallelle, men ikke ligger lige over hinanden. Dette kaldes en skævvinklet cylinder.


Skævvinklet cylinder med højde h og radius r markeret.

Rumfang af disse cylindre udregnes med samme formel, man lader bare højden være længden af en linje, der går vinkelret ud fra bunden og går op til toppens højde.

Eksempel 1

I første eksempel vil vi beregne rumfanget af cylinder, i dette tilfælde en helt almindelig retvinklet cylinder.


Cylinder med en radius på 3 cm og en højde på 10 cm.

Denne cylinder har en radius på 3 cm og en højde på 10 cm. Vi beregner rumfang af cylinderen med vores formel:

V = \pi \cdot 3^2 \cdot 10 = 282,74

Denne cylinder har dermed et rumfang på 282,74 cm^3.

Eksempel 2

I dette eksempel beregner vi rumfanget af en skævvinklet cylinder.


Skævvinklet cylinder med en radius på 4 cm og en højde på 6 cm.

Denne cylinder har en radius på 4 cm og en højde på 6 cm. Vi beregner rumfanget:

V = \pi \cdot 4^2 \cdot 6 = 301,59

Cylinderen har altså et rumfang på 301,59 cm^3.

Eksempel 3

I dette tredje eksempel har vi fået den opgave, at vi skal udregne hvor mange liter vand der skal til at fylde et rundt bassin. Bassinet er 1 meter dybt og har en diameter på 2,5 meter.


Bassinet illustreret.

Bassinet er altså formet som et cylinder, og derfor skal vi udregne rumfang af cylinder for at finde ud af hvor mange liter vand det kan indeholde.

Rumfang af cylinderen som dette bassin består af regnes ud fra højde og radius. Radius er halvdelen af diameter og derfor har vores cylinder en radius på 1,25 meter.

Vi regner rumfang af cylinder med vores formel:

V = \pi \cdot \left (1,25\, m \right ) ^2 \cdot 1\, m = 4,9087\, m^3

Når vi har rumfang af cylinderen kan vi omregne kubikmeter til liter. 1 kubikmeter er lig 1000 liter. Altså kan bassinet indeholde 4908,7 liter vand, hvis det er helt fyldt op.

Eksempel 4

En vandingsanlæg skal bygges. Man har et system der kan give 500 liter vand af gangen. Hvis man bruger en type rør med en radius på 2 cm, hvor mange meter rør skal der så til for at alle 500 liter er i brug på samme tid?

Altså skal man finde ud af, hvor mange meter rør der skal til at få et samlet rumfang på 500 liter. 500 liter er lig med 0,5 kubikmeter. Vi behandler rørerne som cylindere.

Vi bruger formlen for rumfang af cylinder:

\pi \cdot \left (0,02\, m \right ) ^2 \cdot x\, m = 0,5\, m^3

Hvor x er den ukendte længde på rørerne, som skal benyttes for at udnytte kapaciteten på 500 liter ad gangen. Man isolerer x (i meter) og dividerer derfor 0,5 kubikmeter med produktet af \pi og radius, som angivet i meter er 0,02.

\frac{0,5\, m^3}{\pi \cdot \left (0,02\, m \right )^2} = 397,89 \, m

Der skal altså benyttes 397,89 meter rør for at have et rumfang af cylinderen på 0,5 kubikmeter eller 500 liter.