Integralregning

Integralregning er et emne inden for matematik, som handler om at analysere funktioner den modsatte vej af differentialregning. Altså hvis man integrerer en funktion f og dernæst differentierer, får man funktionen f igen. Den funktion vi får når vi integrerer en funktion f, kalder vi stamfunktionen til f.

Hvis man for eksempel har en funktion, som beskriver hastigheden af et objekt, kan man bruge integralregning til at finde funktionen, som beskriver objektets position.

Når man integrerer en funktion f(x), bruger man følgende matematiske symbol:

\int f(x)

Integral-regneregler

Ligesom i differentialregning, kan man integrere en funktion ved hjælp af integral regneregler.

Integration af konstant

Hvis man har en funktion, som er lig en konstant a, bruger man følgende regneregel:

\int a = a\cdot x + k

Hvis man husker sine differentialkvotient-regneregler, ved man at når man differentierer x, får man den konstant der står foran x tilbage. Og vi ved at konstanter forsvinder når vi differentierer dem. Så når vi integrerer skal vi gå den modsatte vej. Når vi integrerer en konstant skal vi tilføje x, sådan at hvis vi differentierer igen får vi konstanten igen.

Da konstanter forsvinder når man differentierer dem, kan vi ikke vide om vores stamfunktion havde en konstant, derfor tilføjer vi variablen k, kaldet integrationskonstanten, som kan være hvilken som helst konstant. k kan altså, som udgangspunkt, tage hvilken som helst værdi. Men hvis man kender lidt mere til stamfunktionen, kan vi godt bestemme k.

Integration af x

Hvis vi har x stående alene i en funktion bruger vi følgende regel til at integrere funktionen:

\int x = \frac{1}{2} x^2 + k

Igen kan vi forstå denne regel ud fra potensregelen i differentialregning. Vi skal forestille os hvilken funktion ville, når vi differentierer den, give x. Når vi differentierer, trækker vi én fra potens eksponenten, og ganger eksponenten på foran. Altså skal vi have x i anden potens, og en halv foran, så vi har ét når vi trækker to ned foran.

Denne regel gælder generelt for x i potens p:

\int x^p = \frac{1}{p+1} x^{p+1} + k\int x^p = \frac{1}{p+1} x^{p+1} + k

Der er dog en undtagelse. Når p er lig minus en. Da gælder reglen ikke, for da er integralet lig logaritmen af x:

\int x^{-1} = \int \frac{1}{x} = \ln(x) + k

x i minus første potens er det sammen som en over x, og når vi integrerer denne funktion får vi den naturlige logaritme plus konstanten k.

Integration af sinus og cosinus

Integration af funktioner med de trigonometriske funktioner sinus og cosinus er helt lige til:

\newline \int \sin(x) = -\cos(x) + k \newline \int \cos(x) = \sin(x) + k

Altså er sinus integreret lig med minus cosinus og cosinus integreret giver sinus.

Integration af sum

Ligesom i differentialregning har vi reglen at hvis vi har en funktion, som er lig summen af to funktioner, er dens integration lig summen af de to funktioner integreret hver for sig. For to funktioner f(x) og g(x):

\int f(x) +g(x) = \int f(x) + \int g(x)

Det samme gælder for subtraktion:

\int f(x) - g(x) = \int f(x) - \int g(x)

Disse regler gør os i stand til at dele komplekse funktioner op i flere dele, så de er nemmere af integrere.

Integration af konstant gange med funktion

Hvis vi har en funktion, som har en konstant ganget på, kan vi sætte konstanten uden for integralet. For en funktion f(x) og en konstant c:

\int c \cdot f(x) = c \cdot \int f(x)

Det betyder altså at hver gang vi ser en konstant ganget på en funktion, kan vi sætte den uden for integrations tegnet. For eksempel:

\int 7\cdot x^2 = 7 \cdot \int x^2

Eksempel 1

Vi betragter funktionen f(x):

f(x) = 4x + \sin(x)

For at integrere bruger vi først sumreglen og dernæst konstantreglen:

\int f(x) = \int 4x + \int \sin(x) = 4\cdot \int x + \int \sin(x)

Vi kan nu bruge de ovenstående regler for x og sinus til at integrere:

\int f(x) = 4\cdot \int x + \int \sin(x) = 4\cdot \frac{1}{2} x^2 + k - \cos(x) + k = 2x^2 - \cos(x) + 2k

Da k kan være hvilken som helst konstant kan vi fjerne det to-tal der er ganget på.

\int f(x) = 2x^2 - \cos(x) + k

Eksempel 2

Vi vil integrere en ny funktion g(x):

g(x) = \frac{53}{x} - 9

Vi bruger reglen for subtraktion af funktion og reglen for konstant:

\int g(x) = \int \frac{53}{x} - \int 9 = 53 \int \frac{1}{x} - \int 9 = 53\cdot \ln(x) - 9x + k

Vi trækker altså 53 ned foran så vi har 53 gange 1 over x, dernæst integrerer vi 1 over x og 9, og samler konstanterne i k.

Læs mere om integralregning på de efterfølgende sider.