"
>

Bestemt integral

Et bestemt integral er et integral, som udregnes mellem to værdier. Hvis funktionen ikke skifter fortegn mellem de to værdier, er det bestemte integral samtidig lig arealet af området mellem grafen og x-aksen, mellem de to x-værdier.

Et bestemt integral skrives således:

\int_{a}^{b} f(x)

Dette er altså integralet fra x-værdi a til b på funktionen f(x). Et bestemt integral udregnes ved først at finde funktionens stamfunktion, og dernæst tage stamfunktionens værdi i b og trække stamfunktionens værdi i a fra:

\int_{a}^{b} f(x) = \left [ F(x) \right ]_{a}^{b} = F(b) - F(a)

Altså for at udregne det bestemte integrale fra x-værdien a til b af funktionen f(x), skal vi først integrere funktionen f(x), ligesom for et ubestemt integral. Dette giver os stamfunktionen F(x). Stamfunktionen giver vi de to x-værdier a og b. Så er vores ubestemte integral lig F(b) minus F(a).

Når man foretager ubestemt integration, får man en funktion som resultat, mens et bestemt integral giver et tal. Dette tal er lig arealet under grafen.


Grafen over funktionen \(f(x) = x^3\). Det bestemte integral fra 1 til 2 er lig arealet af området under grafen markeret med rødt på figuren.

Arealet går fra x-aksen op til grafen og fra x = a til x = b. Hvis funktion er negativ mellem a og b, får man arealet af området fra grafen op til x-aksen.


Grafen af \(f(x) = x^3\) med arealet fra -2 til -1 markeret med blåt.

Hvis funktionen er negativ får man et negativt areal, når man tager det bestemte integral. Dette betyder at hvis funktionen skifter fortegn mellem a og b, vil man få arealet af den positive del minus arealet af den negative del.


Grafen af f(x) = x3 med arealet fra -2 til 2 markeret med grønt.

Eksempelvis giver det bestemte integral mellem -2 og 2 på funktionen x3, som vist på ovenstående figur, nul, da arealet på den negative side er lige så stort som arealet på den positive side.

Eksempel 1

Vi skal løse følgende bestemte integrale:

\int_{\frac{1}{5}}^{3} \frac{4}{x} + 3x^2

Dette integral kan umiddelbart se meget svært ud, men hvis vi bare bruger vores integrationsregler er det meget nemt. Det første skridt er at finde stamfunktionen (F(x)). Den første regel vi bruger er reglen for integration af sum, som siger at vi kan dele summer op, og integrere hver del for sig.

F(x)=\int \frac{4}{x} + \int3x^2

Da vi i første omgang kun leder efter stamfunktionen, skriver vi de normale ubestemte integraltegn. Begge disse integraler har en konstant ganget på. Dem kan vi sætte uden for integralet.

F(x) = 4\cdot \int \frac{1}{x} + 3\cdot \int x^2

En over x integreret, er lig logaritmen til x.

x i anden potens integreret er lig en tredjedel gange x i tredje potens:

F(x)=4\cdot \ln(x) + 3\cdot \frac{1}{3} \cdot x^3 = 4\cdot \ln(x) + x^3

Vi har nu vores stamfunktion og kan løse det bestemte integrale:

\int_{\frac{1}{5}}^{3} \frac{4}{x} + 3x^2 = \left [ 4\cdot \ln(x) + x^3 \right ]_{\frac{1}{5}}^{3} = 4\cdot \ln(3) + 3^3 - \left (4\cdot \ln(\frac{1}{5}) + \left ( \frac{1}{5} \right )^3 \right )

Vi kan sætte dette ind i vores lommeregner hvilket giver os:

\newline\int_{\frac{1}{5}}^{3} \frac{4}{x} + 3x^2 = 4\cdot \ln(3) + 3^3 - \left (4\cdot \ln(\frac{1}{5}) + \left ( \frac{1}{5} \right )^3 \right ) \newline = 4,39 + 27 - \left ( - 6,44 + \frac{1}{125} \right ) = 37,82

Vores bestemte integral er altså lig 37,82.


Grafen over funktion \(f(x) = \frac{4}{x} + \int3x^2\), med området fra x = 0,2 til x = 3 markeret med rødt.

De 37,82 svarer også til arealet af det røde område på ovenstående graf.