Integration ved substitution

Integration ved substitution er en metode, som gør det muligt at integrere sammensatte udtryk, der har en bestemt form. Integration ved substitution kaldes også for substitutionsmetoden.

Reglen om integration ved substitution siger, at hvis man har en sammensat funktion, hvor den indre funktions afledte funktion er ganget på den ydre kan vi substituere den indre funktion. Det ser matematisk således ud:

\int f(g(x))\cdot g'(x)\;dx = \int f(t) \; dt

Udtrykket dt betyder at vi integrerer over variablen t i funktionen. Da vi har skiftet en funktion med x ud med t, skal vi ikke længere integrere over x men over t. Derfor dt istedet for dx.

Integration ved substitution handler om at finde sammenhænge i sammensatte funktioner. Nogle sammensatte funktioner kan ikke løses med vores grundlæggende regler for integration. Teknikken forklares nemmest med et eksempel:

\int \cos(x^3)\cdot 3x^2

Der er ikke nogen direkte integrationsregler vi kan bruge til at løse dette integral. Men hvis vi kigger på funktionen kan vi se at den består af to led, og det første led er en sammensat funktion. Den ydre funktion er cosinus(x) og den indre funktion er x^3. Denne funktion har den sammenhæng vi leder efter, da det andet led 3x^2 er lig x^3 differentieret.

Dermed passer vores funktion ind i den ovenstående formel, hvor f(x) = \cos(x) og g(x) = x^3.

Vi kan altså foretage en substitution. Substitutionen består i at vi lader g(x) være lig t.

\newline f(x) = cos(x) \newline t = g(x) = x^3

Vores regel for integration ved substitution siger at integralet af den originale funktion er lig integralet af f af t. Vi skal altså løse:

\int f(t) \; dt = \int cos(t) \; dt

At integrere over t er det samme som at integrere over x, det er bare et andet variabelnavn. Derfor skal vi bare integrere cosinus. Vi kender reglen for integration af cosinus fra vores regneregler. Cosinus integreret er lig sinus plus integrationskonstanten.

\int cos(t) \; dt = sin(t) + k

Nu skal vi bare skifte t ud med g(x) og vi har vores resultat:

\int \cos(x^3)\cdot 3x^2 = sin(t) + k = sin(x^3) + k

Vi har altså vores resultat i to skridt, substitution og integration. Det er vigtig at funktionen passer præcis ind i formlen ellers giver substitution ikke det rigtige resultat.

Integration af sammensat funktion

Substitutionsmetoden kan altså ses som en måde at foretage integration af en sammensat funktion, ligesom at vi bruger kædereglen til at differentiere sammensatte funktioner.

Det er dog vigtigt at den sammensatte funktion passer ind i ligningen for integration ved substitution. Hvis den sammensatte funktion ikke har den indre funktion differentieret ganget på, kan man ikke gøre brug af substitution. Det er altså ikke alle sammensatte funktioner, som kan integreres ved denne metode.

Eksempel

Substitutionsmetoden bruges til at løse følgende integral:

\int x\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot x^2 + \frac{2}{5}}

Lad os først finde ud af om integration ved substitution kan bruges. Vi har to led, og det andet led kan ses som en sammensat funktion. Den ydre funktion f(x) og den indre funktion g(x) er:

\newline f(x) = e^x

\newline g(x) = \frac{1}{2}\cdot x^2 + \frac{2}{5}

Og hvis vi differentierer g(x) får vi, ved potensreglen og reglen for differentiation af konstant:

g'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot x^{2-1} = x

Integralet passer altså ind i formlen for integration ved substitution. Så vi substituerer og får:

\int f(t) dt = \int e^t dt = e^t = e^{\frac{1}{2}\cdot x^2 + \frac{2}{5}}

Vi ved at eksponentialfunktionen ex giver sig selv når man differentierer. Det samme gælder når man integrerer.

I det sidste skridt skifter vi t ud med g(x), så vi får resultatet af integralet.