Partiel integration

Partiel integration er en metode til at integrere produktet af to funktioner.

Partiel integration fungerer ved at man gør brug af følgende ligning:

\int f(x)\cdot g(x) = f(x)\cdot G(x) - \int f'(x)\cdot G(x)

Denne ligning gælder altid. Den gælder også hvis man bytter om på f og g. Det afgørende er at man kan differentiere funktione f(x) og integrere funktionen g(x).

Partiel integration gør os i stand til at udregne et integral ved at udregne et andet (integralet af f'(x) gange G(x)). Metoden kun brugbar, hvis det andet integrale er nemmere at løse.

Nogle gange får man et integral, som ikke direkte er nemmere at løse, men som kan løses, hvis man anvender metoden en gang til. Man kan foretage partiel integration lige så mange gange som man har brug for.

Vi bruger et eksempel til at illustrere metoden:

\int 3x^2\cdot sin(x)

Denne funktion er produktet af de to funktioner: f(x) = 3x^2\) og \(g(x) = sin(x).

Vi bruger partiel integration, og det først vi gør er at differentiere f og integrere g. Da det er netop differentialet af f og integralet af g, som benyttes i formlen for partiel integration ovenfor, for at kunne integrere et produkt af to funktioner.

\newline f(x) = 3x^2 \newline g(x) = sin(x) \newline f'(x) = 6x \newline G(x) = -\cos(x)

Dette sætter vi ind i ligningen for partiel integration:

\newline \int 3x^2\cdot sin(x) = 3x^2 \cdot (-\cos(x)) - \int 6x \cdot (-\cos(x)) = \newline - 3x^2 \cdot \cos(x) + \int 6x \cdot \cos(x)

Vi står stadig med et integral vi ikke kan løse, så vi bruger partiel integration igen. Vi differentierer f(x) og integrerer g(x) igen:

\newline f(x) = 6x \newline g(x) = \cos(x) \newline f'(x) = 6 \newline G(x) = \sin(x)

Det hele sættes sammen til:

\newline \int 3x^2\cdot sin(x) = - 3x^2 \cdot \cos(x) + \int 6x \cdot \cos(x) = \newline - 3x^2 \cdot \cos(x) + 6x \cdot \sin(x) - \int 6 \cdot \sin(x) = \newline - 3x^2 \cdot \cos(x) + 6x \cdot \sin(x) - 6 \int \sin(x) = \newline \newline - 3x^2 \cdot \cos(x) + 6x \cdot \sin(x) + 6 \cos(x) + k = \newline \newline 3\cdot(- x^2 + 2) \cdot \cos(x) + 6x \cdot \sin(x) + k

Vi får altså ved partiel integration et integral vi kan løse, da 6 kan sættes uden for integralet og vi kan løse integralet af sinus.

Eksempel

Vi skal løse følgende integral:

\int e^x \cdot 2x

Da vi har at gøre med produktet af to funktioner kan vi bruge partiel integration. Først husker vi, at vi kan sætte konstanten (2) uden for integrationstegnet, hvilket giver os følgende funktioner til partiel integration:

\newline f(x) = x \newline g(x) = e^x \newline f'(x) = 1 \newline G(x) = e^x

Vi bruger at den naturlige eksponentialfunktion (e^x) giver sig selv, når den integreres. Vi kan nu sætte ind i ligningen:

\int 2x\cdot e^x = 2(x \cdot e^x) - 2 \int (1\cdot e^x) = 2x \cdot e^x - 2e^x + k

Her har vi altså løsningen ved brug af en partiel integration.