Stamfunktion

En stamfunktion er en funktion, vi får ved at integrere en anden funktion. Man kan også sige at givet en differentieret funktion, er stamfunktionen lig funktionen før den blev differentieret.

Hvad er en stamfunktion?

En stamfunktion findes ud fra en givet funktion. Hvis vi har en funktion f(x), kan vi integrere f(x) for at få dens stamfunktion. Stamfunktioner skrives ofte med store bogstaver:

\int f(x) = F(x)

Altså, F(x) er stamfunktion til f(x). At integrere er essentielt det modsatte af at differentiere og derfor gælder der også at:

F'(x) = f(x)

Altså når vi differentierer en stamfunktion får vi funktionen vi integrerede.

Hvis vi har en stamfunktion G(x), som er lig fem:

G(x) = 5

Kan vi regne ud at for at G'(x) = g(x), må g være lig:

g(x) = 5x

Men da konstanter forsvinder når man differentierer kan g også være lig:

g(x) = 5x + 7

eller:

g(x) = 5x + 148

Faktisk kan man lægge til og trække fra med hvilket som helst tal.

Derfor kan man ikke nævne alle de funktioner, som har 5 som stamfunktion, da der er uendelig mange.

Dette problem har vi med alle funktioner vi integrerer, og derfor tilføjer vi en variabel, som kan tage alle værdier, en såkaldt arbitrær konstant k. Altså har vi:

g(x) = 5x + k

Hvor k er den arbitrære konstant.

Stamfunktion gennem punkt

Stamfunktion har altid en usikkerhed, da integration altid giver en ukendt konstant k. Denne konstant kan findes, hvis vi ved at vores stamfunktion skal gå i gennem et bestemt punkt. Hvis vi har en funktion f(x), og ved at dens stamfunktion skal gå igennem punktet (1,5):

f(x) = 6 \cdot x^2

Og vi integrerer ved hjælp af vores regneregler for integration (se artiklen Integralregning), så vi får stamfunktionen F(x):

F(x) = \int f(x) = 6 \cdot \frac{1}{3} \cdot x^3 + k = 2x^3 + k

Vi bruger nu vores viden om stamfunktionen til at bestemme k.

F(x) = 2x^3 + k skal gå i gennem punktet (1,5):

F(1) = 5

\newline 2 \cdot x^3 + k = 5 \newline \Downarrow \newline 2 \cdot 1^3 + k = 5 \newline \Updownarrow \newline 2 + k = 5 \newline \Updownarrow \newline k = 3

Vi har altså at k = 3, for at vores stamfunktion går igennem (1,5), hvilket giver funktionen:

F(x) = 2x^3 + 3

Eksempel

Vi vil finde stamfunktionen til en funktion f(x). Denne stamfunktion skal gå i gennem punktet (2,8).

f(x) = 3x^2 + 4x + 6

Vi integrerer efter integrationsregnereglerne, og får stamfunktionen F(x):

F(x) = \frac{1}{3} \cdot 3 x^3 + \frac{1}{2} \cdot 4x^2 + 6x + k = x^3 + 2x^2 + 6x + k

Vi bestemmer konstanten k ved at bruge punktet (2,8) og F(x) = x^3 + 2x^2 + 6x + k:

F(2) = 8

\newline x^3 + 2 \cdot x^2 + 6\cdot x + k = 8 \newline \Downarrow \newline 2^3 + 2\cdot 2^2 + 6\cdot2 + k = 8 \newline \Updownarrow \newline 8 + 8 + 12 + k = 8 \newline \Updownarrow \newline k = - 20

Altså er stamfunktionen F(x) til funktionen f(x):

F(x) = x^3 + 2x^2 + 6x - 20