Funktioner

Funktioner er matematiske relationer mellem to eller flere variabler.

Hvad er en funktion?

Generelt kan man sige, at giver man funktioner et tal, gives et tal tilbage som er bestemt af den relation som funktionen beskriver.

Funktioner har afhængige og uafhængige variabler. De fleste funktioner har én uafhængig variabel og én afhængig variabel. Den uafhængige variabel er det tal man giver funktionen og den afhængige variabel er det resultat man får tilbage. Man kalder den afhængig, fordi den afhænger af den variabel vi giver den.

En funktion med én uafhængig variabel og én afhængig variabel kan se således ud:

y = f(x)

f(x) er funktionen. f er navnet på funktionen, som gør os i stand til at se forskel på forskellige funktioner. x er den uafhængige variabel og y er den afhængige variabel.

Den matematiske definition af funktionen kaldes også funktionsforskriften. Se artiklen Funktionsforskrift.

Det der gør funktioner forskellige fra matematiske relationer generelt, er at hvis man giver funktionen samme uafhængige variabel, vil den altid give samme resultat tilbage. Altså én bestemt x-værdi har én y-værdi tilknyttet til den.

Det er denne egenskab som gør at vi kan tegne grafer af funktioner. Man kan nemlig se hver x-værdi og dens tilknyttede y-værdi som et punkt i et koordinatsystem. Og hvis funktionen er defineret over et interval, kan vi tegne en kurve med disse punkter.

En af de mest simple funktioner i matematik er lineære funktion, som beskriver en ret linje.

f(x) = 2x + 1

Ovenstående er et eksempel på en lineær funktion. Den højre side af lighedstegnet giver os forskriften for funktionen. Denne funktion siger at hvert x giver os et y, som er lig to gange x plus en. Så hvis vi vælger x til at være 3 får vi:

f(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7

Dette kan vi så se som et punkt som ligger 3 henne af x-aksen og 7 op af y-aksen.

Funktionsanalyse

Funktionsanalyse handler om at forstå funktionen, så vi kan bruge den på rette måde. Funktionsanalyse kan også gøre os i stand til sammenligne forskellige funktioner og er vigtig i mange opgaver med funktioner.

En lineær funktion kan vi give hvilken som helst x-værdi vi vil, men det er ikke tilfældet for alle funktioner. Hvis for eksempel noget bliver divideret med x i funktionsforskriften, har vi et problem hvis man prøver at sætte x til at være nul, fordi man ikke kan dividere med 0.

Derfor er det vigtigt at vide hvilke x-værdier man kan give en funktion. Vi kalder den mængde af tal man kan give en funktion for definitionsmængden.

Den mængde af værdier som funktionen kan give os tilbage kaldes værdimængde. Værdimængden er altså alle de tal som y kan antage, når vi giver funktionen tal fra definitionsmængden.

Der findes en række generelle egenskaber som en funktion kan have. For eksempel kan man sige at ovenstående lineære funktion er monotont voksende, hvilket betyder at hver gang vi gør x en lille smule større, kan vi være sikker på at y også bliver en lille smule større.

Dette er ikke altid tilfældet. Funktionen kan være aftagende, altså når x bliver større bliver y mindre, eller funktionen kan være konstant, hvilket betyder at y forbliver samme tal når man forøger x.

Der findes også funktioner som har 'hop' på deres graf. I disse funktioner kan y-værdien pludselig skifte værdi, uden at have nogen punkter det ligger i mellem den nye og den gamle værdi. Dette kan give problemer når vi skal regne på funktionen, og derfor bliver det nødvendigt at lave noget funktionsanalyse.

Vi kalder denne analyse for funktionens monotoniforhold.

Invers funktion

For nogle funktioner er det muligt at definere en såkaldt invers funktion. En invers funktion gør det modsatte af en normal funktion. Altså for et givent y fra en funktion, giver den inverse funktion det x som passer y-værdien.

f^{-1}(f(x)) = x

Inverse funktioner symboliseres ved at sætte originalfunktionen i minus første potens, som vist i ovenstående ligning.

For eksempel ville den inverse funktion til f(x) = 5x være f-1(x) = x/5.

Funktionstyper

Der findes mange forskellige typer af funktioner. Nogle typer kan vi selv definere, mens andre har en fast definition.

Lineære funktioner, beskriver som nævnt en ret linje og har den generelle definition:

f(x) = a\cdot x + b

a-værdien beskriver hældningen af linjen. Hver gang x stiger med 1, stiger eller falder funktionen med a. b-værdien fortæller os hvor linjen skærer y-aksen.

Se artiklen Lineær funktion.

Polynomier er en gruppe af funktioner som har en ganske bestem opbygning, men varierer i grader. Det meste kendte polynomium er andengradspolynomium (også kaldet 2. gradsfunktioner):

f(x) = a\cdot x^2 + b \cdot x + c

Alle polynomier tager en variabel x og giver dette x tilbage i alle dets grader, hvor hver grad har en konstant ganget på. Andengradsligningen har altså x i anden potens og (måske) x i første potens. Et tredjegradspolynomium vil have x i tredje potens og måske x i anden og første potens, og sådan fortsætter det.

Se artiklen Andengradspolynomium.

Eksponentielle funktioner er funktioner, hvor den uafhængige variabel giver potensgraden, hvilket betyder at de vokser hurtigere og hurtigere som x vokser.

f(x) = b \cdot a^x

Denne uafhængige variabel x bestemmer altså hvor mange gange a bliver ganget med sig selv. Eksponentielle funktioner kaldes også vækstfunktioner, fordi de beskriver mange former for vækst. For eksempel kan væksten i befolkningstallet beskrives med en vækstfunktion.

Ud over denne generelle definition af eksponentielle funktioner, findes der også en vigtig eksponentiel funktion, som har Eulers tal e = 2,71828 som grundtal.

y = e^x

Denne kaldes eksponentialfunktionen.

Se artiklen Eksponentiel funktion

Potensfunktioner er funktioner hvor x er grundtallet i en potens.

f(x) = b \cdot x^a

Potensfunktioner ligner altså eksponentialfunktioner meget, men har x som grundtal i stedet for at have det som eksponent.

Se artiklen Potensfunktion.

En anden vigtig gruppe af funktioner er de trigonometriske funktioner.

De tre vigtigste trigonometriske funktioner er sinus, cosinus og tangens. De er alle faste funktioner, defineret ud fra enhedscirklen.

De trigonometriske funktioner er meget svære at regne ud i hånden, derfor bruger man altid en lommeregner til at beregne dem.

Sinus og cosinus er fundamentalt anderledes end andre funktioner i det at de er cykliske, hvilket betyder at de samme y-værdier gentager sig efter en bestemt periode (360 grader).

Se artiklen Sinus, cosinus og tangens.

Logaritmiske funktioner er faste funktioner, der laver det givne tal om til en potens med et bestemt grundtal og giver eksponenten til denne som resultat.

Den mest almindelige logaritmefunktion er 10-tals logaritme, og det er denne man finder på de fleste lommeregnere.

\log(1000) = 3 \;\;\; \text{ fordi } \;\;\; 10^3 = 1000

Man kan altså se logaritmefunktioner som det modsatte af eksponentialfunktioner. Se artiklen Logaritme.

Udover disse generelle funktionstyper har vi også sammensatte funktioner, som er en hvilken som helst kombination af de generelle typer.

Langt de fleste funktioner har én uafhængig variabel, men der findes også funktioner af flere variable. Disse vil have to eller flere uafhængige variabler i deres definition, som for eksempel f(x, z) = x + z. For at få et resultat, skal man altså give to variabler, x og z, til funktionen.