Definitionsmængde

Definitionsmængde er de værdier, som man kan give en funktion.

Hvis man har en funktion f(x), er definitionsmængden alle de tal, som man kan give x og få et resultat fra f(x).

For mange funktioner kan man give x alle tal, men der findes også funktioner, hvor nogle tal ikke ville give et resultat.

Lad os se på følgende funktion:

f(x) = \frac{1}{x}

I denne funktion bliver 1 divideret med x. Derfor ved vi, at x kan tage alle værdier undtagen 0. Man må aldrig dividere med nul. Det giver ikke noget resultat, og derfor kan det ikke være en del af funktionen. Denne funktions definitionsmængde er altså alle tal undtagen 0.

Lad os opskrive definitionsmængden for f(x):

\textrm{Dm}(f)=\mathbb{R}\backslash\{ 0 \}

Vi bruger Dm som et symbol på definitionsmængden, og for at vi ved præcis hvilken funktion, der er tale om, skriver vi funktionsnavnet f i parentes. Det store R betyder reelle tal - altså alle tal, positive, negative, med og uden komma. Den omvendte skråstreg betyder "undtagen". Altså der står, at definitionsmængden af f er lig alle reelle tal undtagen 0.

Nogle gange er det dog ikke bare et enkelt tal, som ikke er med i definitionsmængden. For eksempel:

f(x) = \frac{1}{x^2 - 4}

Her vil x = 2 gøre, at vi har 4 - 4 = 0 i nævneren, så 2 kan ikke være en del af definitionsmængden. Vi ved, at når vi tager negative tal i anden potens, får vi et positivt tal tilbage. Derfor kan x = -2 heller ikke være med i definitionsmængden.

\textrm{Dm}(f)=\mathbb{R}\backslash\{ -2, 2 \}

Vi kan altså skrive en liste over de tal, der er undtaget, i mellem tuborgklammer.

Der findes også en anden måde at opskrive definitionsmængde, som er mere relevant, når vi har en hel gruppe af tal, som er uden for definitionsmængden.

Lad os se på eksemplet:

f(x) = \sqrt{x}

Man kan ikke tage kvadratroden af negative tal. Derfor skal vi tage alle negative tal ud af definitionsmængden for f. Vi skriver det således:

\textrm{Dm}(f)=\left [0,\infty \right [

Her definerer vi en række af tal. Tallene inden i de firkantede parenteser fortæller os fra og til i denne række. Altså definitionsmængden er alle tal fra 0 til uendelig. Vi bruger uendelig tegnet til at vise, at alle tal efter 0 er i definitionsmængden.

Her bemærker vi også, at det betyder noget hvilken vej den firkantede parentes vender. Hvis den første parentes vendte mod venstre ville det betyder at vi tæller fra 0, men vi medtager ikke 0. Altså alle tal efter 0. Det samme gælder for uendelig hvor parentes vender væk fra tallet, hvilket betyder at uendelig ikke er medtaget i definitionsmængden. Man tager aldrig uendelig med, fordi det ikke er et rigtigt tal.

Altså hvis den firkantede parentes peger ind mod tallet, er det med i definitionsmængden, og peger det væk er det ikke. For eksempel ville en definitionsmængde, som er lig ]1,7] være alle tal fra 1 til 7, hvor 7 også er en del af definitionsmængden, men 1 ikke er.

Vi vil nu se på nogle forskellige eksempler på funktioner og finde deres definitionsmængde.

Eksempel 1

Lad os se på følgende funktion:

f(x) = \frac{7}{x + 2} + \frac{12}{5 \cdot x}

Denne funktion indeholder division, så igen skal vi være opmærksomme på, at vi ikke kan dividere med 0. Da vi dividerer to gange, skal vi tjekke begge brøker.

Den første brøk kan kun give 0, hvis x er lig -2. -2 er altså ikke i definitionsmængden. I den anden brøk skal x være 0, for at nævneren giver 0. Se Nulreglen.

\textrm{Dm}(f)=\mathbb{R}\backslash\{ -2, 0 \}

Vi har altså, at funktionen f er defineret i alle reelle tal undtagen -2 og 0.

Eksempel 2

Her har vi endnu et eksempel:

f(x) = (x+1)^{x}

Man kunne måske tro, at denne funktion er defineret i alle reelle tal, for eksempel er det ikke noget problem at have noget i nul'te potens. Men når vi har negative tal som eksponent, er det det samme som at dividere (x-1 = 1/x). Derfor hvis x = -1, har vi 0-1 = 1/0. Derfor er -1 ikke defineret.

\textrm{Dm}(f)=\mathbb{R}\backslash\{ -1 \}