Værdimængde

Værdimængde er den fulde mængde af tal, som en funktion kan returnere. Værdimængde kan også kaldes for billedmængde eller funktionens billede.

Værdimængde er altså alle de tal, som det er muligt, at funktionen kan returnere, når vi giver den tal fra dens definitionsmængde. Værdimængde og definitionsmængde hænger tæt sammen. Definitionsmængden siger hvilke tal, vi kan sætte ind i en funktion, og værdimængden siger hvilke tal, vi kan tage ud.

På en graf definerer værdimængde, hvor meget af y-aksen funktionen kan bevæge sig på.

For mange typer funktioner er hele y-aksen i brug. For eksempel kan man give en lineær funktion hvilken som helst x værdi og få hvilken som helst y værdi ud.

For lineære funktioner er værdimængden altså alle tal, men for andre funktion har vi begrænsninger.

For eksempel kan en sinus funktion kun give værdier mellem -1 og 1.

f(x) = \sin(x)

Altså er sinus funktionen værdimængde lig alle tal mellem -1 og 1.

\textrm{Vm}(f)= \left [ -1,1 \right ]

Vi definerer værdimængde med symbolet Vm, og i parentesen specificerer vi hvilken funktion, vi definerer værdimængden for. Dernæst giver vi en række af tal med start og slut defineret i firkantet parentes.

Lad os se på endnu et eksempel:

f(x) = x^2

Vi ved, at når man tager kvadratet af et tal, får vi altid et positivt tal tilbage. Derfor er værdimængden af funktionen f lig alle positive tal.

\textrm{Vm}(f)= \mathbb{R}^+

Det store R betyder de reelle tal, som er alle hele tal og alle brøker, og plusset betyder, at vi kun mener de positive reelle tal. Vi kunne også skrive værdimængden på følgende måde:

\textrm{Vm}(f)= \left [ 0,\infty \right [

Disse to måder beskriver præcis den samme mængde tal. Her definerer vi bare de positive reelle tal som alle tal fra nul til uendelig.

Eksempel

Vi vil se på en funktion og finde dens værdimængde.

f(x) = \frac{3}{x - 2}


Graf over f(x).

Vi ved, at denne funktion har et hul i dens definitionsmængde, fordi der ikke må stå 0 i brøkens nævner. Altså må x ikke være lig 2.

Som vi kan se på grafen, bevæger vi os enten mod uendelig eller minus uendelig alt efter, hvorfra vi nærmer os x = 2.

En anden ting vi ved, fordi vi har at gøre med en brøk, er at den umuligt kan give 0. Jo større x vi giver f(x), desto mindre værdi giver brøken, men den kan aldrig give 0. Derfor har denne funktion altså en værdimængde, som går fra minus uendelig til plus uendelig, men springer 0 over.

\textrm{Vm}(f)= \left ] -\infty, 0 \right [ \; \cup \; \left ] 0, \infty \right [

Tegnet mellem de to firkantede parenteser, der ligner et U, er foreningsmængden, hvilket betyder, at værdimængden er lig begge de to rækker af tal. Fra minus uendelig til 0 og fra 0 til uendelig. Hverken 0, uendelig eller minus uendelig tælles med i mængden, hvilket symboliseres ved, at lade den firkantede parentes pege væk.

Vi kunne også skrive denne værdimængde således:

\textrm{Vm}(f)= \mathbb{R} \backslash \{ 0 \}

Altså alle reelle tal undtagen 0.