Logaritme

En logaritme er en funktion, der virker som den modsatte (inverse) af eksponentialfunktioner.

Der findes mange slags logaritmefunktioner, som virker forskelligt alt efter deres base. Hvis vi har en logaritme med basen a, vil logaritmen af ax give x.

Her er den matematiske definition af en logaritme:

\log_a(a^x) = x

Logaritmer giver os altså eksponenten af en potens med samme base eller grundtal, a, som logaritmen.

Man behøver selvfølgelig ikke give logaritmen et tal, som er en potens. Her er et eksempel, hvor vi bruger logaritmen med basen 10:

\log_10(100) = 2

Ti-talslogaritmen af 100 giver 2, fordi vi skal sætte 10 i anden potens for at få 100: 102 = 100.

Lad os se på endnu et eksempel for at gøre det helt klart:

\log_2(16) = 4

Her er logaritmens base 2. Derfor skal vi finde ud af, hvilken eksponent 2 skal have for at give 16, hvilket er 4 da 24 = 16.

To-talslogaritmen bruges dog ikke så ofte. De to mest brugte logaritmer er ti-talslogaritmen, log 10, som ofte bare skrives som log uden at skrive basen, og den naturlige logaritme som har som base Eulers tal e = 2,71828. Den naturlige logaritme skrives for det meste som ln(x) i stedet for loge:

\\ \log_10(10^x) = \log(10^x) = x \\ \log_e(e^x) = \ln(e^x) = x

Standarden er, at hvis basen på log ikke er specificeret, så er det ti-talslogaritmen.

Når man kender definitionen af en logaritme, kan man også lave følgende omskrevne definition:

10^{\log(x)} = x

Altså da log(x) giver os den eksponent, som får 10x til at give x, vil 10log(x) give x.

Man kan omregne mellem forskellige logaritmebaser med følgende formel:

\log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}

Altså for at regne logaritmen af x med basen a, ved at bruge logaritmen med basen b, skal man dividere b-logaritmen af x med b-logaritmen af a.

Her er et eksempel på at bruge formlen:

\log_3(81) = \frac{\log(81)}{\log(3)} = 4

Denne metode kan for eksempel bruges, hvis ens lommeregner kun har ti-talslogaritmen, men man skal regne i en anden base.

Der findes tre grundlæggende regneregler for logaritmer. Disse virker på samme måde for alle slags logaritmer. Se artiklen Logaritmeregneregler.

Det er især de tre regneregler, som gør, at logaritmer er så brugbare i matematik, fordi de kan gøre komplekse udtryk langt nemmere at arbejde med.

I grafer kan man komme ud for, at en eller flere af akserne har den såkaldte logaritmiske skala. Et eksempel er logaritmepapir som har et anderledes koordinatsystem, end det koordinatsystem vi normalt arbejder med.

Ved logaritmisk skala tæller man ikke hen af aksen som normalt. I stedet for at have 1, 2, 3, 4, ... har man 10, 100, 1000, 10000, ... eller 101, 102, 103, 104, ... . Man tæller altså op i eksponenten af en 10-tals potens i stedet for bare at tælle op i tallet.

Dette betyder også, at tallene ikke sidder lige langt fra hinanden, da man jo skal tage højde for den hurtigere udvikling. Altså hvor et normalt koordinatsystem har lige langt mellem 1, 2 og 3, har et logaritmisk koordinatsystem lige langt mellem 10, 100 og 1000.

Den logaritmiske skala er brugbar, fordi man kan vise grafer, som har en mere ekstrem udvikling, langt bedre og mere overskueligt.

Før man opfandt lommeregnere, som kunne beregne logaritmer, brugte man ofte logaritmer til at regne på meget store tal. Dengang slog man tal op i en såkaldt logaritmetabel, for at finde resultatet af en logaritme.

En logaritmetabel har en masse tal og resultaterne af deres logaritme. En af vores log regler siger, at hvis man tager logaritmen af et produkt af to tal, er den lig med logaritmen af det ene tal plus logaritmen af det andet.

Dette betyder, at man i stedet for at udregne en multiplikation, som kan tage ekstremt lang tid, hvis man har at gøre med store tal, kan man bare finde logaritmerne af de to tal, der skal ganges sammen, lægge logaritmerne sammen og finde dette resultat i en anden tabel som regner tilbage.