Logaritmeregneregler

Logaritmeregneregler er et sæt af regler, som gør det nemmere at regne på logaritmer. Det vil i mange tilfælde være nemmere at udregne logaritmer ved hjælp af logaritmeregneregler i stedet for at slå op i en tabel, og de kan også bruges til at løse ligninger, der indeholder logaritmer.

Logaritmeregnereglerne kommer af definitionen på en logaritme:

\log(10^x) = x

Altså logaritmen af et tal giver os det tal x der, hvis vi sætter x som potens på 10, giver os tallet.

Lad os give nogle eksempler så vi kan se præcis, hvad dette betyder.

\log(10) = 1

Fordi 101 er lig 10.

\log(1000) = 3

Fordi 103 er lig 1000.

Med disse tal skal man altså bare spørge sig selv, hvor mange gange man skal gange 10 med sig selv, for at få det tal man tager logaritmen af.

Men hvad gør man, når tallet ikke er en lige potens af 10? For eksempel log(50). Denne logaritme kan ikke umiddelbart regnes ud i hovedet. Det er derfor, vi har brug for logaritmeregneregler.

log-regneregler

\log(a \cdot b) = \log(a) + \log(b)

\log(\frac{a}{b}) = \log(a) - \log(b)

\log(a^x) = x \cdot \log(a)

Den første logaritmeregneregel siger:

\log(a \cdot b) = \log(a) + \log(b)

Altså logaritmen af a gange b er lig logaritmen af a plus logaritmen af b. Dette betyder at vi kan bryde multiplikation, når vi tager logaritmer og få plus i stedet, hvilket i mange tilfælde kan gøre det nemmere at løse logaritmer.

For eksempel har vi bare brug for at kende logaritmen af 5 for at kunne finde log(50). log(5) er lig 0,699. Da 50 er lig 5 gange 10, kan vi skrive:

\log(50) = \log(5 \cdot 10) = \log(5) + \log(10) = 0,699 + 1 = 1,699

Den anden af vores logaritmeregneregler siger:

\log(\frac{a}{b}) = \log(a) - \log(b)

Denne regel minder meget om den første og siger, at hvis vi har et tal a divideret med et andet tal b, så er deres logaritme lig logaritmen af a minus logaritmen af b.

Den anden regel kan bruges på samme måde som den første. Hvis vi skal finde logaritmen af en brøk, kan vi bryde divisionen op og få minus i stedet. Og hvis vi har et tal, som kan repræsenteres som en brøk, kan det gøre logaritmen nemmere af beregne.

For eksempel hvis vi skal finde logaritmen af en halv. Vi ved at 5 er halvdelen af 10, altså kan vi skrive:

\log(\frac{1}{2}) = \log(\frac{5}{10}) = \log(5) - \log(10) = 0,699 -1 = -0,301

Den tredje logaritmeregneregel er:

\log(a^x) = x \cdot \log(a)

Altså logaritmen af af et tal a taget i x'te potens, er lig logaritmen af a gange x. Når vi har potens i en logaritme, kan vi altså trække eksponenten ned foran logaritmen.

Ligesom for de andre regler, kan vi bruge den tredje regel til at simplificere en logaritme.

For eksempel, hvis vi vil finde logaritmen af 25. Vi ved at 5 gange 5 er lig 25, og derfor kan vi skrive 25 som 5 i anden potens:

\log(25) = \log(5^2) = 2 \cdot \log(5) = 2 \cdot 0,699 = 1,398

Vi har set, hvordan de tre regler kan bruges praktisk. Nu vil vi vise, hvordan man beviser, at de er sande.

For at kunne bevise de tre regler, skal vi først have på plads, hvad vi allerede ved. Logaritmer er defineret således:

\log(10^x) = x

Altså logaritmen af et tal giver os det tal, der givet som eksponent til 10, vil give os tallet.

Dette betyder, at vi også kan omskrive definitionen:

10^{\log(x)} = x

Altså log(x) giver os tallet, der sat som eksponent på, 10 giver os x, og derfor passer ovenstående.

En anden regel vi bruger til at bevise de 3 logaritme regler er følgende:

a^x \cdot a^y = a^{x+y}

Når man ganger to potenser med samme rod sammen, skal man altså bare lægge eksponenterne sammen.

\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}

Denne regel kan findes ud fra den forrige og siger, at når vi dividerer to potenser, skal vi trække eksponenterne fra hinanden.

Her er beviset for den første regel:

\log(a \cdot b) = \log(10^{\log(a)} \cdot 10^{\log(b)}) = \log(10^{\log(a) + \log(b)}) = \log(a) + \log(b)

I det første lighedstegn bruger vi den omskrevne definition af logaritmer til at bytte a ud med 10log(a) og b med 10log(b).

I det næste lighedstegn bruger vi potensreglen til at lægge eksponenterne sammen. Dette gør, at udtrykket er på samme form som definitionen på logaritme, hvilket betyder, at vi kan sætte det lig med eksponenten til 10, og dermed har vi den første logaritmeregel.

Den anden regel kan vises på præcis samme måde:

\log(\frac{a}{b}) = \log(\frac{10^{\log(a)}}{10^{\log(b)}}) = \log(10^{\log(a)-\log(b)})=\log(a) - \log(b)

Her laver vi igen en omskrivning og bruger reglen for division af potenser.

Den tredje regel viser vi således:

\log(a^x) = \log(a \cdot a \cdot ... \cdot a) = \log(a) + \log(a) + ... + \log(a) = x \cdot \log(a)

Her bruger vi først definitionen på potens, som siger at ax er lig a ganget med sig selv x gange. Altså kan vi omskrive ax til a gange a gange a ... x gange.

Vi ved fra den første regel, at når man ganger i en logaritme, kan man splitte den op og lægge sammen i stedet. Altså bliver log(a) lagt sammen med log(a) x gange.

Når man lægger et tal sammen med sig selv x gange, er det det samme som at gange med x, og dermed har vi beviset for den sidste af vores logaritmeregneregler.

Den naturlige logaritme - ln

Logaritmeregnereglerne gælder også for andre logaritmer end 10-talslogaritmen. For eksempel for den naturlige logaritme ln(x). Her er grundtallet e = 2.71828 og således er definitionen anderledes:

\ln(e^x) = x

Men vores logaritme-regneregler gælder på præcis samme måde for den naturlige logaritme som for titalslogaritmen. De gælder faktisk også for andre grundtal.

Herunder kan du se en oversigt over regnereglerne for ln.

ln-regneregler

\ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b) \;, \; \text {for} \; a, b > 0

\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)

\ln(a^x) = x \cdot \ln(a)