Potensvækst

Potensvækst er et udtryk der knytter sig til en potensfunktion. En potensfunktion/potensudvikling er som bekendt defineret som:

F(x) = b \cdot x^a

De generelle betingelser for potensfunktioner er derfor også gældende for potensvækst. Men det gælder samtidig for potensvækst at:

a > 0

Potensvækst har følgende karakteristika. Når x0 ganges med en konstant k, kan man gange f(x0) med potensen ka. På en formel ser det således ud:

Formel for potensvækst

f(x_0 \cdot k) = k^a \cdot f(x_0)

Det kan alternativt udtrykkes som:

f(x_2) = k^a \cdot f(x_1)

hvor x2 > x1

hvor x_2 = x_1 \cdot k

Lad os starte med et simpelt eksempel for at illustrere formlens gyldighed. En potensudvikling har funktionsforskriften:

f(x) = 5x3

a = 3 og b = 5

Funktionsværdien for x0 = 2:

f(2) = 5(2)^3 = 40

Gang x0 med konstanten k = 4.

Funktionsværdien for f(x_0 \cdot k):

f(8) = 5(8)^3 = 2560

Funktionsværdien for f(8) kan også udregnes ved at gange konstanten k opløftet i eksponenten a med funktionsværdien for f(x0):

  f(x_0 \cdot k) = k^a \cdot f(x_0) \Leftrightarrow f(2 \cdot 4) = 4^3 \cdot 40 \Leftrightarrow f(8) = 64 \cdot 40 \Leftrightarrow \(f(8) = 2560\)

Istedet for at finde funktionsværdi for f(x_0 \cdot k), kan man gange funktionsværdien for f(x0) med ka. Det kan i nogen tilfælde være lettere.

Procent-procent-vækst

Potensvækst beskrives også som procent-procent-vækst. Det skyldes, at potensvækst har den egenskab, at når x vokser med en procentsats, så stiger f(x) samtidig med en anden procentsats.

For at kunne udregne procent-procent-vækst, skal man kende formlen for potensudviklingen, eller som minimum have udregnet a.

Lad os se nærmere på potensudviklingen: s(x) = 3x^{0,75}

a = 0,75

Potensvækst

De grønne og de orange markeringer på grafen viser sammenhængen mellem potensvækst og procent-procent-vækst.

Først vælges to x-værdier x3 = 20 og x4 = 40.

Der er sket en fordobling fra 20 til 40 på x-værdien.

x_3 \cdot k = x_4 \Leftrightarrow 20 \cdot k = 40 \Leftrightarrow k = \frac{40}{20} \Leftrightarrow k = 2

En fordobling fra 20 til 40 svarer til en procentvis stigning på:

\frac{40 - 20}{20} \cdot 100 \% = 100 \%

Det vil sige, at når x3 stiger med 100% medfører det en procentvis stigning på s(x):

2^{0,75} = 1,6818

Potensvækst skal fratrækkes 1 og ganges med 100%:

1,6818 - 1 \cdot 100 \% = 68,18 \%

Potensvækst betyder altså, at når x stiger med 100%, stiger s(x) med 68,18%:

Dette kan også illustreres på denne måde, som kan virke mere logisk for nogen.

Her tages udgangspunkt i funktionsværdierne for x3 og x4, som tilsvarer en fordobling på x-værdien: 

s(20) = 3(20)^{0,75} = 28,37

s(40) = 3(40)^{0,75} = 47,72

Den procentvise stigning på funktionsværdierne er:

\frac{47,72 - 28,37}{28,37} \cdot 100 \% = 68,18 \%

For alle x gælder det, at når x stiger med 100%, så stiger s(x) med 68,18%.

Prøv selv at udregne potensvækst/procent-procent-vækst for de blå markeringer på figuren, hvor x1 = 5 og x2 = 15.

Fremskrivningsfaktor for potensudvikling

En fremskrivnigsfaktor kendes først og fremmest fra kapitalfremskrivning som en del af Rentesregning. Fremskrivningsfaktoren F = (1 + r) beskriver en procentvis ændring. Fremskrivningsfaktor kan benyttes til at beskrive procent-procent-vækst for en potensfuktion, idet r er den procentvise stigning (angivet som decimaltal). 

Der gælder følgende sammenhæng:

F_{f(x)} = F_x^a

Som svarer til:

(1 + r_{f(x)}) = (1 + r_x)^a

Lad os benytte tallene med de blå markeringer fra figuren ovenfor, hvor vi ikke kender r_{f(x)}:

a = 0,75

rx = 200% = 2,00

(1 + r_{f(x)}) = (1 + r_x)^a \Leftrightarrow (1 + r_{f(x)}) = (1 + 2)^{0,75} \Leftrightarrow (1 + r_{f(x)}) = 3^{0,75} \Leftrightarrow (1 + r_{f(x)}) = 2,2795 \Leftrightarrow r_{f(x)} = 1,2795

Decimaltallet 1,2795 ganges med 100%:

1,2795 \cdot 100 \% = 127,95 \%

Som kontrol kan man indsætte k = 3, idet der sker en tredobling fra x= 5 til x2 = 15.

3^{0,75} = 2,2795

Potensvækst skal fratrækkes 1 og ganges med 100%:

2,27,95 – 1 \cdot 100 \% = 127,95 \%

Som det ses stemmer de to resultater overens. De blå markeringer på grafen illustrerer, at en stigning i x på 200% modsvares af en stigning på s(x) på 127,95% for alle x.

Eksempel 1

Potensudviklingen er givet ved forskriften: s(x) = 3x^{0,75}

Man ønsker at fremskrive x-værdien med 50%. 

rx = 0,50 og Fx =1,50)

F_{f(x)} = (1,50)^{0,75} = 1,3554

F_{f(x)} = (1 + r_{f(x)}) \Leftrightarrow 1,3554 = (1 + r_{f(x)}) \Leftrightarrow r_{f(x)} = 0,3554

Decimaltallet 0,3554 ganges med 100%:

0,3554 \cdot 100 \% = 35,54 \%

Når x stiger med 50% stiger s(x) med 35,54%.