Faktorisering

Faktorisering er en række metoder til at bryde matematiske udtryk op i mindre dele, der ganges sammen.

De forskellige dele af et gangestykke kaldes faktorer, og faktorisering går altså ud på lave et udtryk om, så det kun består af faktorer.

Den simpleste form for faktorisering består i at lave et tal om til produktet af to mindre tal. For eksempel kan man sige, at 8 er lig 2 gange 4:

8 = 2\cdot 4

2 gange 4 er altså 8 faktoriseret.

I nogle tilfælde vil man være interesseret i at faktorisere et udtryk så meget som muligt. For eksempel kan 4 igen faktoriseres til 2 gange 2, så vi har:

8 = 2\cdot 2\cdot 2

Dette udtryk kan nu ikke faktoriseres mere.

Faktorisering af andengradsfunktioner

Denne simple idé viser sig at være meget vigtig i matematikken. Et af de områder, hvor faktorisering er meget brugt, er i forbindelse med faktorisering af andengradsfunktioner og andre polynomier.

Andengradspolynomier har 0 til 2 (reelle) rødder, og når man kender disse, kan man faktorisere således:

ax^2 + bx + c = a \cdot (x - r_1) \cdot (x - r_2)

Altså r1 er den ene rod, og r2 er den anden.

Når man faktoriserer et andengradspolynomium, laver man et udtryk, der består af tre led, der er lagt sammen, om til én multiplikation. Det er stadig samme funktion, men den er opbygget anderledes.

I mange sammenhænge er det langt nemmere at løse ligninger, når der ikke indgår addition eller subtraktion, fordi man ikke skal bekymre sig om, hvordan en ændring påvirker de forskellige led.

Formen på den faktoriserede andengradsligning kommer af den simple betingelse, at ligningen skal give 0, når vi sætter en rod ind som x.

Vi skriver den faktoriserede andengradsligning som en funktion f(x) og sætter en af rødderne ind på x's plads:

f(r_1) = a \cdot (r_1 - r_1) \cdot (r_1 - r_2) = a \cdot 0 \cdot (r_1 - r_2) = 0

Det samme sker, hvis vi sætter r2 ind, der vil altid være en af faktorerne, som er lig nul. Og vi ved fra nulreglen, at det eneste der kræves, for at et udtryk giver nul, er, at en af faktorerne giver nul.

Den faktoriserede ligning opfylder altså samme betingelse som den generelle andengradsligning.

Får man givet en andengradsligning, som er faktoriseret, er det derfor meget nemt at finde rødderne, da selve ligningen giver os løsningen.

f(x) = 2\cdot(x - 3) \cdot (x + 6)

Husk dog at rødderne i definitionen har minus foran, så derfor er rødderne til denne funktion 3 og - 6.

Man kan nemt lave en faktoriseret andengradsligning om til en generel andengradsligning ved at gange parenteserne ud:

\\ f(x) = 2\cdot(x - 3) \cdot (x + 6) = 2\cdot(x^2 + 6x - 3x - 18) = \\ 2x^2 + 12x - 6x - 36 = 2x^2 + 6x - 36

Her har vi altså lavet f(x) om til en andengradsligning.

Udover rødderne, har en faktoriseret andengradsfunktion altså kun én variabel, a. Hvis man kender rødderne af en andengradsfunktion, men ikke a, kan man finde a, hvis man kender bare ét punkt, som funktionens graf går i gennem.

For eksempel funktionen:

g(x) = a \cdot (x + 2) \cdot (x - 1)

Vi ved, at g går i gennem punktet (2, 4), hvilket betyder at g(2) = 4. Vi finder a ved at sætte punktet ind i funktionen:

g(2) = a \cdot (2 + 2) \cdot (2 - 1) = a \cdot 4 \cdot 1 = 4a

Her er det altså klart, at a må være lig med 1, for ellers ville g ikke gå i gennem (2, 4).

Så g er:

g(x) = (x + 2) \cdot (x - 1)

Eksempel

I dette eksempel skal vi faktorisere denne andengradsligning:

f(x) = 2x^2 + 6x + 4

Det første, vi skal gøre, er at finde rødderne. Det gør vi som altid ved at finde diskriminanten og bruge formlerne, som beskrevet i artiklen Andengradspolynomium.

Vi beregner diskriminanten:

D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 4

Og finder de to rødder (der er to fordi D er over 0) med formlen:

x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

x = \frac{-6 + \sqrt{4}}{4} = \frac{-4}{4} = -1x = \frac{-6 - \sqrt{4}}{4} = \frac{-8}{4} = -2

Vi har nu de to rødder. Altså kan vi lave den faktoriserede funktion ud fra formlen:

f(x) = 2\cdot (x + 1) \cdot (x + 2)

Hvis vi tester, kan vi se, at det er samme funktion:

f(x) = 2\cdot (x + 1) \cdot (x + 2) = 2\cdot (x^2 + 2x + 1x + 2) = 2x^2 + 6x + 4

Dermed har vi altså faktoriseret funktionen f.