Nulreglen

Nulreglen er en regel i matematik, der siger at hvis produktet af to tal giver nul, er mindst et af de to tal lig med nul.

Altså når man har to tal, og kalder dem a og b, kan man skrive nulreglen op således:

$a \cdot \; b = 0 \;\;\; \rightarrow \;\;\; a = 0 \; \vee \; b = 0 $

Det betyder at når a gange b er nul, så gælder det at a = 0 eller b = 0 (eller begge dele).

Nulreglen er intuitivt nem at forstå. Prøv at forestille dig to tal over nul, der giver nul ganget sammen -  det kan du ikke vel? 

Men nulreglen er meget vigtig i matematik, da den ofte kan gøre beregninger meget nemmere.

Nulreglen kan blandt andet bruges, når man løser andengradsligninger. Hvis man faktoriserer andengradsligningen, kan man få løsningen ved at bruge nulreglen.

Vi ser på et eksempel, for at forklare hvordan man faktoriserer og bruger nulreglen.

Eksempel 1

Vi har den simple andengradsligning:

2x^2 + 4x = 0

Det første, vi gør, er at faktorisere. Når man faktoriserer, forsøger man at sætte x(den ubekendte) uden for parentes. Hvis vi kigger på vores andengradsligning, kan vi se, at vi har to udtryk 2x2 og 4x. Begge disse har x ganget med et tal. Det første udtryk har x ganget på to gange (anden potens).

Da begge udtryk har x ganget på mindst en gang, kan vi 'fjerne' dette ene x fra begge udtryk og sætte dem i en parentes og gange et x på denne parentes.

2x^2 + 4x = x \cdot (2x + 4)

Hvis man regner tilbage, kan man se, at det giver det samme. Altså kan vi bytte ud med det faktoriserede udtryk i den originale andengradsligning:

x \cdot (2x + 4) = 0

Vi har nu et produkt, som er lig med nul og som består af et faktoriseret udtryk. Derfor kan vi bruge nulreglen. Enten den ene eller den anden faktor skal give nul:

x = 0 \; \vee \; 2x + 4 = 0

Nu skal vi bare løse højre side, og vi har vores to muligheder:

\\2x + 4 = 0 \\ 2x = -4\\ x = -2

Altså:

x = 0 \; \vee \; x = -2

Så x = 0 og x = -2 er begge løsninger til andengradsligningen.

Tredjegradsligning

Tredjegradsligninger kan også løses på samme måde. I mange tilfælde vil kombinationen af faktorisering og nulreglen være den nemmeste måde at løse en tredjegradsligning, da man ikke kan bruge metoden med diskriminanten (D), som det er tilfældet med andengradsligninger.

Det sværeste ved at løse tredjegradsligninger er, at finde ud af hvordan man faktoriserer dem. I de fleste tilfælde bliver man nødt til bare at prøve sig frem.

Eksempel 2

Vi kigger igen på et eksempel:

x^3 + 2x^2 - 3x = 0

Vi kan igen sætte x uden for parentes:

x \cdot (x^2 + 2x - 3) = 0

Altså siger nulreglen at:

x = 0 \; \vee \; x^2 + 2x - 3 = 0

Vi har nu en andengradsligning vi skal løse, for at få resten af resultaterne ud over x = 0. Vi kan enten bruge diskriminant metoden, eller vi kan gætte os frem til løsningerne ved hjælp af at kigge på faktoriseringen.

For denne ligning kan vi ikke umiddelbart gætte os frem til noget, så vi udregner nu rødderne til andengradsligningen, som man normalt gør. Se artiklen Andengradsligning.

Vi udregner først diskriminanten:

D = b^2 - 4 \cdot a \cdot c

\\D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16

Da diskriminanten er positiv har vi altså to løsninger på følgende formel:

\\x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2\cdot 1} = \frac{-2 \pm 4}{2}

De to løsninger er:

\\x = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \text{ og } x = \frac{-2 - 4}{2} = -3

Vi har altså fundet rødderne til andengradsligningen, og dermed har vi også løsningerne til vores tredjegradsligning:

x^3 + 2x^2 - 3x = x(x - 1)(x + 3) = 0

Vi har første løsning, x = 0, som vi fik fandt ved hjælp af nulreglen. Den anden løsning gav en andengradsligning, til hvilken vi fandt de to løsninger 1 og -3.

Dermed har vi fundet alle rødderne til tredjegradsligningen som er:

x = 0 \; \vee \; x = 1 \; \vee \; x = -3