Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning er en disciplin i matematik, der handler om at formulere sandsynligheder. Man vil i de fleste tilfælde have en situation, hvor man har at gøre med en hændelse, som har et tilfældigt resultat.

Det klassiske eksempel er en terning, og vi vil se på en række opgaver, som bruger sandsynlighedsregning på terninger. Inden man kaster en terning kan man ikke vide hvilket antal øjne den vil give, men man kan med sandsynlighedsregning sige noget om hvor sandsynlige forskellige udfald er. Andre klassiske eksempler er møntkast og kortspil.

En terning har seks sider med antal øjne fra et til seks. Vi kalder dette for udfaldsrummet, og skriver det således:

U = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6\}

Der er lige stor chance for at lande på hver side af terningen. Vi kalder dette for jævn sandsynlighed. Der er altså for eksempel en chance på en ud af seks for at få en sekser. Vi skriver det på følgende måde:

P(6) = \frac{1}{6}

Sekstallet i P funktionen beskriver en hændelse, nemlig hændelsen at terningen viser seks øjne. Generelt definerer vi sandsynligheden af en hændelse, i et udfaldsrum med jævn sandsynlighed, med denne formel:

P(A) = \frac{\text{Gunstige udfald}}{\text{Mulige udfald}}

Altså antallet af udfald som tilfredsstiller den hændelse, vi vil finde sandsynligheden for, divideret med det fulde antal af mulige hændelser.

Hvis vi skal have sandsynligheden for at få et antal øjne under fire, skal vi lægge sandsynligheden af alle de hændelser, der tilfredsstiller dette sammen for at få sandsynligheden. Et antal øjne under fire har vi, hvis vi slår et, to eller tre. De har alle sandsynligheden en ud af seks, altså:

P(\text{\o jne} < 4) = P(1) + P(2) + P(3) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} +\frac{1}{6} = \frac{3}{6} = 0,5 = 50 \%

Vi har altså 50 procent chance for, at en terning slår et antal øjne under fire. Vi har i ovenstående brugt additivitetsreglen, som siger:

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Dette betyder at hvis vi vil have sandsynligheden for at få A eller (\cup) B, skal vi lægge sandsynlighederne af A og B sammen.

Man har i sandsynlighedsregning også muligheden for at udregne sandsynligheden for at noget ikke sker. Hvis vi vil have sandsynligheden for ikke at slå en sekser, bruger vi reglen for komplementær hændelse:

P(\overline{A}) = 1 - P(A)

Dette betyder at sandsynligheden for at A ikke er sker, er lig én minus sandsynligheden af A. Sandsynligheden for ikke at slå en sekser er altså:

P(\overline{6}) = 1 - P(6) = \frac{5}{6}

Hvis vi har to terninger, bliver udregningerne lidt mere komplicerede. For at finde sandsynligheden for at slå to seksere skal vi gange de to sandsynligheder:

P(6, 6) = P(6) \cdot P(6) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} = 0,0278 = 2,78 \%

Enhver kombination har 2,78 procent chance for at lande.

Hvis vi vil have chancen for at slå under fire på begge terningerne, skal vi igen gange de to sandsynligheder:

P(\text(\o jne) < 4) \cdot P(\text{\o jne} < 4) = 0,5 \cdot 0,5 = 0,25 = 25 \%

Men for at få chancen for at de to terningers øjne lagt sammen giver under fire, skal vi tælle kombinationerne sammen. Vi kan nu skrive vores udfaldsrum som kombinationer:

U = \{(1,1), (1,2), (1,3), .., (2,1), (2,2), .., (6,6)\}

Der er i alt 36 kombinationer. Der er tre kombinationer, som giver en sum på under fire; når begge terninger er lig et, når første terning er to og den anden terning er et og omvendt.

P(\text{sum} < 4) = P(1,1) + P(1,2) + P(2,1) = \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}

Eksempel

Med sandsynlighedsregning kan man udregne, hvad sandsynligheden er for at slå yatzy i et slag. Yatzy er den kombination i spillet Yatzy, som giver flest point og man får den ved at slå alle fem terninger med sammen øje-antal.

Først udregner vi, hvilken sandsynlighed enhver unik kombination af terninger har ved at gange sandsynlighederne for hver terning sammen:

\frac{1\cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1}{6\cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6} = \frac{1}{7776}

Vi vil nu udregne sandsynligheden for at få yatzy. Sandsynligheden følger af additionsreglen:

P(5 \text{ ens \o jne}) = P(1,1,1,1,1) + P(2,2,2,2,2) + .. + P(6,6,6,6,6) =

\frac{1}{7776} + \frac{1}{7776} + .. + \frac{1}{7776} = \frac{6}{7776} = \frac{1}{1296} = 0,00077 = 0,077 \%

Man har altså en meget lav chance på 1 ud af 1296 eller 0,077 procent chance for at slå yatzy i et slag.