Stokastisk variabel

En stokastisk variabel er en variabel i sandsynlighedsregning, der repræsenterer udfaldet af en hændelse. Til en stokastisk variabel kan man tilknytte en sandsynlighedsfunktion, så når man giver sandsynlighedsfunktionen P den stokastiske variabel X sat lig med et udfald, får man sandsynligheden for dette udfald.

Hvis man for eksempel lader den stokastiske variabel M stå for udfaldet af et møntkast, kan man lade krone være lig 1 og plat være lig 0. Vi kan nu beskrive sandsynligheden for at få krone således:

P(M = 1) = 50 \%

Da vi vil få krone i halvdelen af møntkast, må der altså være 50 procent chance for at få krone. Et andet eksempel kunne være en skoleklasse. Vi ved, at 6 ud af de 24 elever er 15 år, 3 er 17 år og resten er 16 år. Altså hvis vi lader A være den stokastiske variabel for en elevs alder og spørger en elev on hans/hendes alder, kan vi få tre forskellige svar med disse sandsynligheder:

\newline P(A = 15) = \frac{6}{24} = 0,25 = 25 \%

\newline P(A = 16) = \frac{15}{24} = 0,625 = 62,5 \%

\newline P(A = 17) = \frac{9}{24} = 0,125 = 12,5 \%

I disse to eksempler har vi at gøre med hele tal, hvor udfaldet altså bare er et tal ud af en fastsat mængde af tal. Vi kalder en sådan stokastisk variabel for en diskret stokastisk variabel.

Hvis vi i stedet undersøgte elevernes karaktergennemsnit, ville vi få en masse kommatal i intervallet fra -3 til 12. Der er ikke nødvendigvis nogen af karaktererne, der ligger lige på et heltal, så hvis vi for eksempel ville finde P(K = 7), hvor K er vores stokastiske variabel for elevens gennemsnitskarakter, ville vi kunne få 0 procent sandsynlighed, selvom der er mange i klassen, der ligger tæt på 7.

Derfor vil vi i dette tilfælde lade K være en kontinuert stokastisk variabel. En kontinuert stokastisk variabel kan tage uendelig mange forskellige tal, hvor en diskret stokastisk variabel i de fleste tilfælde kun tager en bestemt mængde af udfald.

For at finde sandsynligheder for kontinuerte stokastiske variabler bruger vi forskellige statistiske fordelinger. Se artiklerne Sandsynlighed og Binominalfordeling.

Eksempel

Vi kaster to terninger og lader den stokastiske variabel S være lig summen af de to terningers øjne.

Vi kan nu udregne sandsynlighederne, for alle de værdier S kan tage. Vi ved at S må gå fra 2 til 12, da to ettere lagt sammen giver to, og to seksere giver 12.

Der findes i alt 6 \cdot 6 = 36 kombinationer, og altså har vi følgende:

\newline P(S = 2) = \frac{1}{36}

\newline P(S = 12) = \frac{1}{36}

Resten af værdierne finder vi ved at finde de forskellige kombinationer, der giver den pågældene sum.

\\S = 3: \{ \(1,2), (2,1) \} \\S = 4: \{ \(1,3), (3,1), (2,2) \} \\S = 5: \{ \(1,4), (4,1), (2,3), (3,2) \} \\ ... \\S = 11: \{ \(5,6), (6,5) \}

Regn selv de mellemliggende summer. Da vi ved, at hver kombination har en sandsynlighed på en 1/36, skal vi bare gange antallet af gunstige kombinationer med 1/36. Altså har vi:

P(S = 2) = \frac{1}{36} , \; P(S = 3) = \frac{2}{36} , \; P(S = 4) = \frac{3}{36} , \; P(S = 5) = \frac{4}{36} , \; ...

Vi har altså beregnet en diskret stokastisk variabel, som kan give os sandsynligheden for at få en givet sum med kast af to terninger.