Middeltal

Middeltal er et meget vigtigt matematisk begreb inden for deskriptiv statistik. Men hvad er middeltal for en størrelse?

Hvad er middeltal?

Et andet ord for middeltal er middelværdi, og det er ganske simpelt et udtryk for gennemsnit. Middeltal og middelværdi benyttes som synonymer i denne artikel.

Middeltal er en af de såkaldte statistiske deskriptorer.

For ugrupperede observationer har middeltal én betydning og for grupperede observationer hvor observationerne er inddelt i intervaller en anden.

Denne artikel behandler først middeltal for ugrupperede observationer. Nederst i artiklen behandles middeltal for de grupperede observationer.

Beregning af middeltal

Middeltal betyder altså gennemsnittet af en række tal.

Eksempelvis for tallene/observationerne 1 og 3 er gennemsnittet lig med 2.

Dermed er middeltal = 2

Middeltal findes rent praktisk ved at lægge alle observationer sammen og derefter dividere med antallet af observationer.

\frac{1+3}{2} = 2

På en formel ser det således ud:

Middeltal = \frac{x_1 \cdot h(x) + x_2 \cdot h(x) + ... + x_n \cdot h(x)}{n}

x_1, x_2 til x_n er de enkelte observationer

n er antallet af observationer

h(x) er hyppighederne

eller:

\bar{x} = \sum x \cdot f(x)

Middeltal og median er to størrelser, der ofte forveksles.  Både middeltal og median siger noget om middeltendensen i et observationssæt. Men hvor medianen er det midterste tal i et observationssæt er middeltallet altså et gennemsnit af alle observationerne i observationssættet.

Man kunne godt tro, at middeltal og median er det samme, men som eksempel 2 illustrerer, kan der være meget stor forskel på størrelsen af de to statistiske deskriptorer.

Eksempel 1

Lad os antage, at vi har følgende 6 tal, som vi ønsker at beregne middelværdien af:

7, 3, 16, 2, 8, 6

For at finde middeltallet skal observationerne lægges sammen, og derefter skal dette tal divideres med antallet af observationer.

Middeltal = \frac{7 + 3 + 16 + 2 + 8 + 6 }{6} = \frac{42}{6} = 7

Eksempel 2

Et andet (ordnet) observationssæt med 7 observationer ser således ud. Det kunne være prisen i kroner for at rejse fra Århus til København med forskellige transportformer.

100, 150, 165, 200, 250, 405, 499

Lad os først udregne middeltallet for prisen for denne type rejse.

Middeltal = \frac{100 + 150 + 165 + 200 + 250 + 405 + 499}{7} = \frac{1769}{7} = 252,71

Dermed er middelværdien for en tur mellem Danmarks to største byer ca. 252,71 kr.

Median er derimod den midterste værdi i et ordnet observationssæt. Som det fremgår, er der 3 tal før 200 og 3 tal efter 200 i det ordnede observationssæt og derfor er median = 200 kr.

Middeltal og median er derfor meget forskellige statistiske deskriptorer, som begge siger noget om middeltendensen, men som kan være vidt forskellige.

Eksempel 3

To elever får følgende fordeling af karakterer i 20 eksaminer, angivet med hyppighed og frekvens:

Karakter     Elev 1              Elev 2

4:               2 = 10 %         8 = 40 %

7:               8 = 40 %         2 = 10 %

10:             8 = 40 %         2 = 10 %

12:             2 = 10 %         8 = 40 %

Sum:          N = 20            N = 20

Middeltal beregnes nu således:

Middeltal elev 1:

\bar{x}_{elev 1} = \frac{4 \cdot 2 + 7 \cdot 8 + 10 \cdot 8 + 12 \cdot 2}{20} = \frac{168}{20} = 8,4

Middeltal elev 2:

\bar{x}_{elev 2} = \frac{4 \cdot 8 + 7 \cdot 2 + 10 \cdot 2 + 12 \cdot 8}{20} = \frac{162}{20} = 8,1

Grunden til, at middeltallet for elev 2 er mindre end for elev 1, er at der for elev 2 er flere observationer, der ligger langt fra midten, mens elev 1’s karakterer er nærmere midten.

Middeltal for grupperede observationer

Middeltal (middelværdi) er for grupperede observationer lidt anderledes defineret end for ugrupperede observationer.

Da de grupperede observationer er inddelt i intervaller, kender man som oftest ikke de enkelte observationer, så man kan ikke lave et vægtet gennemsnit.

I stedet antager man, at de enkelte observationer ligger jævnt fordelt i intervallet. Man fastsætter et intervalmidtpunkt, x_midt, som en fælles værdi for alle observationerne i det interval.

Formlen til beregning af middelværdien for grupperede observationer er næsten den samme som for ugrupperede observationer. Man indsætter blot  x_midt og f(I) i stedet, da det er intervaller der arbejdes med. Formlen ser således ud:

\bar{x} = \sum x_{midt} \cdot f(I)

\bar{x} er middeltallet

x_midt er det fastsatte intervalmidtpunkt

f(I) er intervalfrekvensen

Eksempel 4

Middeltallet for grupperede observationer findes altså ved at fastsætte et intervalmidtpunkt, x_midt samt beregne intervalfrekvensen f(I) for hvert interval.

På en villavej er de i gang med at arrangere en vejfest. Derfor er børnene blevet opdelt i aldersintervaller, for at finde ud af, hvilke aktiviteter der skal være for dem til vejfesten. Der er i alt 25 børn så N = 25. Børnene inddeles i 4 aldersintervaller og intervalhyppigheden og intervalfrekvensen ser således ud:

Aldersintervaller i år Intervalhyppighed, h(I) Intervalfrekvens, f(I)
0 - 3 4 0,16 = 16 %
4 - 6 5 0,20 = 20 %
7 - 10 10 0,40 = 40 %
11 - 15 6 0,24 = 24 %
Sum N = 25 1,00 = 100 %

Se endvidere artiklen Frekvenstabel.

Derefter fastsættes intervalmidtpunkt, som en alder midt i intervallet:

0 - 3 år:      x_midt = 1,5

4 - 6 år:       x_midt = 5

7 - 10 år:     x_midt = 8,5

11 - 15 år:   x_midt = 13

Herefter kan middeltallet beregnes:

\bar{x} = ((1,5 \cdot 0,16) + (5 \cdot 0,20) + (8,5 \cdot 0,40) + (13 \cdot 0,24)) = 7,76

Det vil sige, at middeltallet for børnene på vejen er ca. 7 år og 9 måneder. Middeltal er som beskrevet udtryk for gennemsnit, og dermed i dette tilfælde børnenes gennemsnitsalder.