Lige nu 293 online.

Persondatapolitik

Studieportalen.dk › Kompendier › Matematik › Matematik formelsamling › Trigonometri › Vilkårlig trekant › Cosinusrelationerne

Cosinusrelationerne

Cosinusrelationerne beskriver en sammenhæng mellem vinklerne og siderne (sidestykker) i alle trekanter. I modsætning til sinus, cosinus og tangens der kun kan benyttes i beregningen af en retvinklet trekant, gælder cosinusrelationerne alle trekanter.

Som udgangspunkt kan alle tre vinkler og tre sider beregnes. Men man skal kende minimum oplysninger, for at kunne beregne de resterende vinkler og sider ved hjælp af cosinusrelationerne. Enten alle tre sider eller en vinkel og de to hosliggende sider. I trigonometriske beregninger med cosinus relationer er det afgørende at vinkler og sider er parret korrekt sammen. En vinkel er ALTID parret sammen med den modstående side. Således at modsat vinkel A findes side a osv.

En vilkårlig trekant og de vinkler og modstående sider der parres sammen.

Varianter af cosinusrelationer

Der findes 6 varianter af cosinus-relationer, en for hver ukendt vinkel eller side:

Cosinusrelation for $\angle A:$ $cos (A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Cosinusrelation for $\angle B:$ $cos (B) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

Cosinusrelation for $\angle C:$ $cos (C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Cosinusrelation for sidestykke $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(A)$

Cosinusrelation for sidestykke $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos(B)$

Cosinusrelation for sidestykke $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$

Eksempel 1

I en trekant ABC kender man følgende mål:

$\angle B$ er 28° , side er 8,2 cm og side er 9,4 cm.

Udregn længden på sidestykke b med to decimaler?

Cosinusrelation for sidestykke

   $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos(B)$
$\Downarrow$
   $b^2 = 8,2^2 + 9,4^2 - 2 \cdot 8,2 \cdot 9,4 \cdot \cos(28)$
$\Updownarrow$
   b^2 = 19,48479908
$\Updownarrow$
   b = 4,414158933

Sidelængden på linjestykket er 4,41 cm.

Eksempel 2

I trekant DEF kender man disse oplysninger:

Side er cm, side er cm og side er cm.

Udregn vinklerne A og B ved hjælp af cosinusrelationerne og find derefter vinkel C ved hjælp af en trekants vinkelsum (med to decimaler)?

Cosinusrelation for $\angle A:$

   $cos (A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
$\Downarrow$
   $cos (A) = \frac{74^2 + 60^2 - 49^2}{2 \cdot 74 \cdot 60}$
$\Updownarrow$
   cos (A) = 0,751689189
$\Updownarrow$
   $A = \cos^{-1}(0,751689189)$
$\Updownarrow$
   A = 41,26

Dermed er $\angle A = 41,26°$

Cosinusrelation for $\angle B:$

   $cos (B) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$
$\Downarrow$
   $cos (B) = \frac{49^2 + 60^2 - 74^2}{2 \cdot 49 \cdot 60}$
$\Updownarrow$
   cos (B) = 0,089285714
$\Updownarrow$
   $B = \cos^{-1}(0,089285714)$
$\Updownarrow$
   B = 84,88

Dermed er $\angle B = 84,88$

Vinkel C kan herefter beregnes ved hjælp af en trekants vinkelsum:

$\angle C$ = 180° - 41,26° - 84,88° ⇔ $\angle C = 53,86°$

Afhængig af hvilke oplysninger man har, skal man vælge cosinusrelationerne der passer i netop den trekantsberegning. I de tilfælde hvor man ikke har tilstrækkelige oplysninger til at benytte cosinusrelationerne, kan man i stedet (oftest) benytte sinusrelationerne. Samtidig skal man være opmærksom på at vinkelsummen er 180° . Kender man to vinkler, er den tredje vinkel givet ved simpel udregning.

Derudover kan man komme ud for et tilfælde hvor man kun kender de tre vinkler. I det tilfælde kan hverken cosinusrelationerne eller sinusrelationerne benyttes og sidelængderne kan derfor ikke bestemmes. For alle trigonometriske beregninger gælder det at man skal kende mindst én side.

Se artiklen trekantsberegning for en udførlig oversigt over hvilke udregninger man skal foretage, afhængig af hvilke sider og vinkler man kender, og i hvilke tilfælde man kan anvende cosinusrelationerne.

Seneste indlæg
A: DHO!!! (0)
A: Newton til kgf (0)
A: Forklar, hvad tallet 225 i forsk... (5)
C: Eksponentielle funktioner (10)
B: Hjælp til Mat (2)

Populære indlæg
C: Eksponentielle funktioner (10)
C: Middelværdi? (5)
A: DHO!!! (0)
A: Bestem koordinatsættet til hvert... (3)
B: Hvilket CAS værktøj kan jeg bruge (3)

Hjælp: Support | FAQ | Stopplagiat.nu

Se også: Skolediskusjon.no | Studienet.dk | Studienett.no | Studienet.se