Vektorregning

Vektorregning er regning med vektorer. Vektorer kan lægges sammen og trækkes fra hinanden ligesom almindelige tal.

Udover disse grundlæggende operationer har vektorer også nogle specialiserede operationer, som ikke findes for almindelige tal.

Vektoraddition

Vektoraddition er helt simpelt. Man lægger to vektorer sammen, ved at lægge hver række sammen. Altså man tager første koordinat i hver vektor og lægger dem sammen, og tager næste koordinat og lægger dem sammen og så videre.

For eksempel, for to todimensionelle vektorer:

\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2\\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3+2\\ 1+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\ 6 \end{pmatrix}


Vektor a (blå) og vektor b (rød) giver den sorte vektor lagt sammen.

Addition af to vektorer giver altså en ny vektor, hvor hver række er lig summen af de to vektorers række.

Vektorsubtraktion

Vektorsubtraktion fungerer efter samme princip som addition:

\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 2\\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-1\\ 4-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}


Vektor a (blå) og vektor b (rød) giver den sorte vektor trukket fra hinanden.

Vi går altså bare igennem hver række og trækker koordinaterne fra hinanden.

Gange vektor med skalar

Når man skal gange en vektor med et tal, skal man gange hvert koordinat med tallet. Når vi ganger en vektor med et tal, kalder vi tallet en skalar, fordi det skallerer vektorer op eller ned.

\vec{a} \cdot b = \begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix} \cdot 4 = \begin{pmatrix} 3\cdot 4\\ 2\cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12\\ 8 \end{pmatrix}


Vektor a (blå) ganget med skalaren 4 giver den sorte vektor.

Her ganger vi altså med skalaren 4 ved at gange 4 på hvert koordinat.

Længde af vektor

Længden af en vektor beregnes med følgende formel:

\left |\vec{a} \right | = \left |\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\end{pmatrix} \right | = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

Man tager altså hvert koordinat i denne type vektorer i anden potens, og lægger dem sammen og tager kvadratroden. Bemærk at længde er symboliseret ved de to |-tegn omkring vektoren.

Vektorlængden kan udledes fra Pythagoras' læresætning.

For at gange to vektorer med hinanden, skal vi bruge en bestemt metode som kaldes skalarprodukt eller prikprodukt. Se artiklen Skalarprodukt.

Nogle gange er man interesseret i at dreje vektorer. Man kan få en vektor til at ligge ortogonalt på sig selv ved at tage dens tværvektor. Se artiklen Tværvektor.

En vektorprojektion er hvor man laver en ny vektor ud fra to vektorer. Vektorprojektionen har den ene vektors retning og den anden vektors projekterede længde. Se artiklen Projektion.

En normalvektor er en vektor, der ligger vinkelret på en linje eller et plan. Se artiklen Normalvektor.

Til sidst skal det nævnes, at man ikke kan dividere vektorer. Man kan kun dividere tal.