Normalvektor

En normalvektor er en vektor, som er normal til en anden vektor. Det betyder at den står vinkelret på en anden vektor.

Man taler om normalvektorer både for to-, tre- og flerdimensionale vektorer.

Nedenfor ser vi et eksempel på en normalvektor n til en vektor a:


Vektor a (blå) og normalvektoren n til a.

\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1\end{pmatrix} \;\;\; \text{ og } \;\;\; \vec{n} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2\end{pmatrix}

Man kan tjekke, om en vektor er normalvektor til en anden vektor, ved at måle vinklen i mellem dem. Vinklen skal være 90 grader.

BEMÆRK, at man også kunne have drejet n 180 grader, det vil stadig være en normalvektor til a.

Man kan bruge en normalvektor og et punkt til at definere en linje i et todimensionalt koordinatsystem.

Altså givet et punkt (x0, y0) på linjen og en normalvektor n til linjen, kan vi definere linjens ligning således:

a\cdot(x - x_0) + b\cdot(y - y_0) = 0

Altså alle x og y, som får venstre side til at give nul, er en del af linjen.

Normalvektor i rummet

I tre dimensioner skal vi bruge to vektorer eller et plan for at kunne definere en normalvektor.

En normalvektor i rummet er altså en vektor, som ligger vinkelret på to vektorer.

Der findes en formel til at lave en normalvektor til to vektorer i tre dimensioner. Denne formel kaldes også for krydsproduktet (link) og ser således ud:

\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix}a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \\a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3 \\a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1\end{pmatrix}

Altså givet to vektorer a og b, er n normalvektor til begge.

Lad os regne et eksempel. Vi har vektorerne a og b:

\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} \;\;\; \text{ og } \;\;\; \vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 4\end{pmatrix}

\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix}2 \cdot 4 - 3 \cdot 7 \\3 \cdot 5 - 1 \cdot 4 \\1 \cdot 7 - 2 \cdot 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8-21 \\ 15-4 \\ 7-10\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13 \\ 11 \\ -3\end{pmatrix}

Her handler det om at holde tungen lige i munden og få alle tallene til at passe ind på deres rette plads i formlen. Vi har altså, ved at tage krydsproduktet af to tredimensionelle vektorer, beregnet en normalvektor til dem.

Normalvektor til plan

Når man har to punkter og en normalvektor, kan man definere en plan i rummet. Planens ligning er bygget op ligesom linjens ligning.

Vi har et punkt på planen p og et hvilken som helst andet punkt på planen p0 og normalvektoren til planen n:

p = (x, y, z) \;\;\; \text{ og } \;\;\; p_0 = (x_0, y_0, z_0) \;\;\; \text{ og } \;\;\; \vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c\end{pmatrix}

Giver planens ligning:

a\cdot(x - x_0) + b\cdot(y - y_0) + c\cdot(z - z_0) = 0

Vi tilføjer altså bare en ekstra dimension til linjens ligning.