Projektion (vektor)

Projektion indenfor vektorregning er en operation, der tager to vektorer og laver en ny vektor ud fra dem.

Projektion svarer grafisk til, at man lader de to vektorer gå ud fra samme punkt, og går vinkelret fra enden af den ene vektor ind på den anden.


Projektion ab (grøn) af vektoren a (rød) på vektoren b (blå).

På ovenstående figur har vi projektionen ab af vektoren a på vektoren b. Den striplede linje viser, hvordan enden af a går vinkelret ind på b. Hvis man ser på endepunktet for a alene, har vi projektion af punkt på linje.

Bemærk også, at med den striplede linje har vi skabt en retvinklet trekant med a vektoren og projektionen.

Projektion af en vektor a på en vektor b beregnes med følgende formel:

\vec{a}_{\vec{b}} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \cdot \vec{b}

Altså man tager skalarproduktet af a og b. Det giver os et tal, som vi dividerer med længden af b i anden potens. Denne division giver os et tal, som vi til sidst ganger på b som en skalar. Altså prikken mellem a og b er et prikprodukt, og prikken mellem divisionen og b vektoren er et gangetegn.

Længden af b kan beregnes med en formel, som er vist i artiklen Vektorregning. Denne længde kan vi så gange med sig selv bagefter for at få nævneren i divisionen.

Men en nemmere måde er at tage skalarproduktet af b med sig selv, hvilket giver os længden i anden potens direkte. Se artiklen Skalarprodukt.

Husk, at vi får to helt forskellige resultater, når vi tager projektionen af a på b, og når vi tager projektionen af b på a. Det er derfor vigtigt gøre klart, hvilken projektion man laver. Man skriver projektion af a på b, ved at sætte b som undertekst til a, som i ovenstående formel.

Vektorprojektion ser heller ikke nødvendigvis ud som på den ovenstående graf, projektionsvektoren kan være længere end den vektor projektionen sker på, og den kan også have modsat retning.


Et anderledes eksempel på en projektion ab (grøn) af vektoren a (rød) på vektoren b (blå), hvor ab er længere og har modsat retning af b.

Længden af en projektion kan beregnes med følgende formel:

|\vec{a}_{\vec{b}}| = \frac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{b}|}

Her betyder de to | streger omkring projektionen, at det er længden, vi beregner. De to | omkring skalarproduktet betyder dog ikke det samme, da skalarproduktet giver os et tal og ikke en vektor. To | streger om et tal er symbolet for den numeriske værdi, hvilket betyder, at hvis tallet er negativt, smider vi minusset væk, så vi får en positiv værdi.

Længden af projektionen a på b er altså lig den numeriske værdi af skalarproduktet mellem a og b, divideret med længden af vektoren b.

Eksempel

Vi har to vektorer:

\vec{a} = \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix} \;\;\; \text{ og } \;\;\; \vec{b} = \begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}

Vi vil finde projektionen af a på b. Vi bruger vores projektionsformel, men for at gøre det nemmere at overskue beregner vi først delene hver for sig. Først har vi skalarproduktet af a og b:

\vec{a}\cdot\vec{b} = \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix} = 2\cdot 1 + 3\cdot (-2) = 2 -6 = -4

Det næste bliver længden af b i anden potens, som vi beregner ved at tage skalarproduktet af b på sig selv:

\vec{b}\cdot\vec{b} = \begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix} = 1\cdot 1 + (-2)\cdot (-2) = 1 + 4 = 5

Nu kan vi sætte ind i formlen for projektion:

\vec{a}_{\vec{b}} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \cdot \vec{b} = \frac{-4}{5} \cdot \begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-0,8\\1,6\end{pmatrix}

Vi får altså en projektionsvektor som vist på nedenstående figur.


Vores projektion ab (grøn) tegnet ud fra samme punkt som a (rød) og b (blå).

Til sidst vil vi beregne projektionens længde:

|\vec{a}_{\vec{b}}| = \frac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{b}|} = \frac{|-4|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{4}{\sqrt{5}} = 2,24

Projektionen ab har altså en længde på 2,24.