Skalarprodukt (prikprodukt)

Skalarprodukt eller prikprodukt er en matematisk operation, man kan foretage på vektorer.

Skalarproduktet af to vektorer giver en skalar, altså et tal.

Formlen for skalarprodukt af to todimensionale vektorer ser således ud:

\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1\\ a_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1\\ b_2 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2

Vi tager altså førstekoordinatet ud af hver vektor og ganger dem sammen, som vi ville med almindelige tal, og lægger produktet sammen med produktet af andenkoordinatet.

Bemærk, at vi bruger samme tegn for skalarprodukt som for multiplikation af tal.

Man kan tage prikproduktet af alle slags vektorer. Hvis vi har en tredimensional vektor, bliver formlen lidt længere, men princippet er det samme:

\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1\\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1\\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3

Der gælder en række regneregler for skalarprodukt:

\\ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \\ \vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{a} \\ s \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) = s \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot s \cdot \vec{b} \\ \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2

Første regel siger, at rækkefølgen af de to vektorer ikke betyder noget. Den anden regel siger, at vi kan tage prikproduktet ind i en parentes ved at tage prikproduktet af hver vektor i parentesen.

Den tredje regel siger, at hvis vi ganger en skalar s på et prikprodukt, er det det samme som at gange skalaren på en af vektorerne. Den fjerde regel siger, at hvis vi tager skalarproduktet af en vektor på sig selv, får vi vektorens længde i anden potens.

Skalarprodukt bruges i mange forskellige sammenhænge inden for vektorregning, eksempelvis kan man bruge det til at finde ud af, om to vektorer er ortogonale, altså om de ligger vinkelret på hinanden.

To vektorer er ortogonale, hvis deres skalarprodukt er lig nul.

Eksempel

Vi vil i dette eksempel se, hvordan man praktisk tager skalarproduktet af to tredimensionale vektorer:

\begin{pmatrix} 3\\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = 3\cdot4+2\cdot1+5\cdot3 = 12+2+15=29

De to vektorer har altså et prikprodukt på 29.