Tværvektor

En tværvektor er en vektor, der ligger vinkelret på en anden vektor og har samme længde.

Helt præcist får vi en vektors tværvektor ved at dreje den 90 grader mod uret.


Vektoren a (rød) og dens tværvektor (grøn).

Man kan nemt finde tværvektoren til enhver vektor ved at bytte om på koordinaterne og sætte minus foran førstekoordinatet.

Så for vektoren a:

\vec{a} = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}

Er tværvektoren til a lig:

\hat{\vec{a}} = \begin{pmatrix}-a_2\\a_1\end{pmatrix}

En tværvektor markeres med det lille symbol over pilen, som vi kalder hat. Vi kan kalde denne tværvektor for 'a hat'. Man kalder også nogle gange det at lave en tværvektor at 'hatte vektoren'.

Derfor kalder man også nogle gange en tværvektor for en hat-vektor.

Ovenstående formel viser altså, hvordan man finder en tværvektor af en todimensional vektor. Der findes ikke nogen generel formel for tredimensionale vektorer eller højere dimensioner, fordi der kan findes uendelig mange forskellige vektorer, der ligger vinkelret på en vektor i tre dimensioner.

Dette skyldes, at vi i tre dimensioner har 3 akser at dreje omkring, så der vil altid være mulighed for at rotere tværvektoren om én af akserne. Derfor taler man ikke om tværvektorer i rummet.

Hvis man tager skalarproduktet af en vektor og dens tværvektor, får man altid 0.

Tværvektorer og normalvektorer er begge defineret ved at ligge vinkelret i forhold til noget, men hvor normalvektorer bare er en vektor, som er vinkelret på en linje, plan eller rumgeometrisk figur, kan en tværvektor kun defineres ud fra en anden vektor.

Derudover kan en normalvektor også have hvilken som helst længde, hvor en tværvektor altid har samme længde som den vektor, den ligger vinkelret til. For en nærmere beskrivelse af normalvektorer se artiklen Normalvektor.

Eksempel

Vi kigger på følgende vektor a og finder dens tværvektor.

\vec{a} = \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}

Vi følger formlen for at hatte a:

\hat{\vec{a}} = \begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}


Figuren viser vektoren a (rød) og tværvektor (grøn), vi har beregnet.

Ovenstående figur viser vektoren og tværvektoren.