Integralregning?

a) Differentialligningen er den logistiske differentialligning. Man kan her benytte udtrykket for den fuldstændige løsning (slå op i bogen). Man benytter de opgivne datapunkter til at fastlægge konstanterne.

b) Den øvre grænse for N er konstanten 90 i differentialligningen.

Væksthastigheden dN/dt er størst, hvor d²N/dt² = 0 . Bemærk, at dN/dt er et 2.-gradspolynomium i N.

Der er tale om en differentialligning af typen

med løsningen

Du skal benytte, at den generelle løsning for differentialligninger af typen 

y' = a·y·(M-y) 

er givet ved 

b) Du kan eventuelt lade N(t) → a  for  t→∞    og se hvad N(t) går imod.

#1

a) Differentialligningen er den logistiske differentialligning. Man kan her benytte udtrykket for den fuldstændige løsning (slå op i bogen). Man benytter de opgivne datapunkter til at fastlægge konstanterne.

b) Den øvre grænse for N er konstanten 90 i differentialligningen.

Væksthastigheden dN/dt er størst, hvor d²N/dt² = 0 . Bemærk, at dN/dt er et 2.-gradspolynomium i N.

a) Med konstanterne menes der vel a, som er hældningen?

b) Beregnes væksthastigheden ved at sætte de opgivne data ind? Og hvad står d for helt præcist?

#5

a) Med konstanterne menes der vel a, som er hældningen?

Ja, der menes a, men det er ikke en hældning i dette tilfælde. Derudover er der konstanten c. c står for constant.

b) Hvad står d for?

 d står for , dvs. delta. Den angiver en lille vækst eller sådan noget, men det ved Andersen11 nok mere om.

Det er det samme d som står i differentialligningen fra #0, og eksponenten kommer af, at man differentierer denne.

Væksthastigheden er altså størst når:

Jeg skal dog ikke gøre mig klog på hans notation...

b) Hvad står d for?

For at undgå forvirring omkring kvadratet på den første afledte:

... og udtrykket for den anden afledte, skriver man den anden afledte som:

istedet for

 .. eller hvad man nu kan fristes til at skrive.

 skal læses "(d nummer 2 gange N) delt med (d gange t i anden)

b) Beregnes væksthastigheden ved at sætte de opgivne data ind?

 Væksthastigheden for differentialigningen bestemmes ved at differentiere differentialligningen, og "toppunktet" for denne væksthastighed bestemmes ved at løse ligningen:

#1

Man benytter de opgivne datapunkter til at fastlægge konstanterne.

Det er Leibniz's notation  (da y = f(x)), som har sin fordel over for Newtons notation 

Nu om dage benyttes Lagrange's notation f'(x)

De tre forskellige notationer svarer til hinanden  

Igen skal det pointeres, at man fandt Leibniz notation mere fordelagtig i datiden (og nu), derfor blev der primært benyttet af Leibniz's notation - med undtagelse af England, hvor Newton stammede fra. Selvfølgelig skulle de engelsk matematikkere støtte Newton's notation ellers ville det være forræderi ... :-)

Fordelen i Leibniz's notation ligger i, at differentialkvoienten bliver skrevet op som en brøk, hvilket man snedigt kan udnytte/misbruge i matematik.

Væksthastigheden dN/dt er størst, hvor dens tidsafledede (dN/dt)' er lig med 0. Man kan med fordel benytte differentialligningen til at bestemme, maksimum for væksthastigheden, idet man har

        dN/dt = a·N·(90-N) = -a·N² + 90a·N

Væksthastigheden dN/dt er altså et 2.-gradspolynomium i N, og da koefficienten til N² er negativ, har polynomiet maksimum i toppunktet, og væksthastigheden er derfor størst mulig, når N = 90/2 = 45 . Tildspunktet for dette kan så findes ud fra den det færdige udtryk for N(t) .

Da tiden t regnes i antal år efter 1996, har man 
N(0)=3 og N(11)=43. 
Differentialligningen løses med betingelserne: 

Jeg prøver at desolve den men det vil den ikke hvad gør jeg galt