Matematik
Finde fordelingsfunktionen
Hejsa. Jeg skal løse opg. 6, og jeg kan ikke huske hvordan man finde fordelingsfunktionen. Jeg kan godt finde den inverse efterfølgende. På forhånd tak.
Svar #1
05. december 2018 af oppenede
Du skal integrere g(y) mht. y ved at integrere hver stykvis formel.
De additive konstanter skal vælges så G(y) er kontinuert og G(0) = 0.
Svar #2
05. december 2018 af NetteLind
Får jeg så: ingt(y fra 0 til 1)+intg.(1/y^3 fra 1 til uendelig)? Dette giver jo bare et tal.
Eller får jeg en gaffel funktion, når jeg intg. ingt(y fra 0 til 1 og derefter intg.(1/y^3 fra 1 til uendelig)? Dette gver så nogle tal for de forskellige interval, og det må da være fordelingsfunktionen?
Svar #3
05. december 2018 af AMelev
Du skal finde det ubestemte integral (stamfunktion) for delfunktionerne og tilpasse konstanterne, så fordelingsfunktionen bliver kontinuert samt ikke-negativ og har grænseværdien 1 for y → ∞.
Svar #4
05. december 2018 af NetteLind
Okay. Så jeg integrere g(y) uden grænser, og så får jeg to udtryk. Jeg få (y^2)/2 for 0<y<1 og -1/(2*y^2) for 1<y<uendelig. Hvad skal jeg da gøre nu? Skal jeg ændre grænserne for y i begge for at få grænsen til 1?
Svar #5
05. december 2018 af oppenede
Du får (y^2)/2+k for 0<y<1 og -1/(2*y^2)+h
h og k skal vælges så G(y) er kontinuert i y=1, og så G(0) = 0
Svar #6
05. december 2018 af NetteLind
Kan det så passe at k=1/2 og h=1 for y=1, hvis G(y) skal være 1? Jeg er blevet lidt forvirret.
Svar #7
05. december 2018 af AMelev
Nej, hvis k = ½ og h = 1, så har de to delfunktioner ikke samme værdi i y = 1.
Værdimængden for G skal være [0,1] og G skal være voksende, så grænseværdien for y → ∞ skal være 1.
, så h = 1
G(0) = 0. Dermed skal k = 0, og så passer det med, at G1(1) = G2(1), så G er kontinuert.
Svar #8
05. december 2018 af NetteLind
Svar #9
05. december 2018 af oppenede
Udtrykket hvor k indgår har slet ikke en grænseværdi når y går mod ∞, da udtykket er betinget af 0<y<1.
Det er kun udtrykket med h som additiv konstant, der har noget at gøre med grænseværdien når y går mod ∞.
k skal vælges så grænseværdien når y går mod 1 er den samme fra højre og venstre.
Svar #10
05. december 2018 af NetteLind
Svar #11
05. december 2018 af NetteLind
Svar #13
05. december 2018 af SådanDa
Man kan også bare finde
altså for 0<y≤1:
. Og for y>1:
. Så du har at:
Svar #14
05. december 2018 af NetteLind
Svar #16
05. december 2018 af NetteLind
Svar #17
05. december 2018 af SådanDa
Altså personligt ville jeg gøre som i #13, så slipper man for at kigge på grænseværdier for at få konstanterne til at passe!
Men hvis du regner det ubestemte integral, så vil du gerne sørge for at G er kontinuert, så G1 og G2 skal altså have samme grænseværdi gående mod 1, det viser sig at passe med 1/2.
Svar #18
05. december 2018 af AMelev
G1(y) = ½y2 er henrivende uinteressant, når y →∞, da den kun gælder for 0 <(=) y < 1.
Når y →∞, er y >>> 1, og så er det G2(y) = -1/(2y2), der er i spil.
Når G skal være kontinuert, skal G1(1) = G2(1), da der ikke må være hul i grafen. G1(1) = ½, og det skal G2(1) så også være, og det er den, når G2(y) = 1-1/(2y2).