Matematik
Bevis for normalfordelingens maksimum er i middelværdien
Kære jer,
Jeg har fået opgaven at bevise, at normalfordelingens maksimum er lig middelværdien (opgaven er vedhæftet). Jeg synes ikke umiddelbart at kunne finde løsningen i min lærebog, så jeg krydser fingre for, at I har nogle tips, tricks eller måske et tilsvarende bevis.
Hav det super, og som altid, tak for hjælpen
Svar #1
28. maj 2019 af oppenede
Eksponentialfunktionen ex er monotont voksende, og derfor er det en og samme x-værdi der maksimerer
e-((x-μ)/σ)^2 vel som -((x-μ)/σ)^2
Sidstnævnte er et andengradspolynomium, med a = -1/σ2, så grenene vender nedad.
Dvs. toppunktet, som er x = μ, er den x-værdi hvor maksimum antages.
Når e-((x-μ)/σ)^2 ganges med en positiv konstant ændrer det ikke ved hvad der er maksimum.
Svar #2
28. maj 2019 af AMelev
Du skal læse ordlyden omhyggeligt. Du skal ikke vise, at max(f) = μ, men at max(f) = f(μ), altså at μ er max-punkt.
Eksponenten
Dermed får du
Sæt , så har du , hvor a < 0 og t ≥ 0.
Altså er f aftagende, og max fås i endepunktet ved t = 0 ⇔ x = μ.
Alternativt kan du finde nulpunkter for den afledede, men så vil jeg foreslå, at du tager udgangspunkt i omskrivningen til , så du slipper forat cykle rundt med alle konstanterne.
Hej, jeg sidder også med beviset, er der nogen der kan hjælpe med at uddybe bruger "oppenede's" svar, mht. andengradspolynomium, eller i det hele taget, hvordan maksimum er lig middelværdien?
Svar #5
05. juni 2022 af Anders521
#4 Polynomiet kan omskrives til
hvor og . Bruges toppunktsformlen haves .
Hej mange tak, jeg prøver lige at vedhæfte et billede med beviset, sig gerne til hvis du ser noget der skal rettes, eller uddybes. Men ellers er det ligemeget, mange tak for svaret :)
Svar #9
05. juni 2022 af Anders521
#7 Din udregninger ser i orden ud, men du er kørt ude på et sidespor. Du vil gerne vise at . I den forbindelse er inddragelse er diskriminanten ikke nødvendig. Delen af toppunktsformlen der er relevant, er udtrykket for 1. koordinaten, dvs. , den kaldes også ligningen for symmetriaksen til en parabel.
Skriv et svar til: Bevis for normalfordelingens maksimum er i middelværdien
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.