Matematik

Kvadratkomplettering

03. februar kl. 12:23 af Anonym706 - Niveau: A-niveau

Jeg har følgende ligning:
x^2 + y^2 + a * x - 6y = 0

Den omksrives, via kvadratkomplettering, og med hensyn til kvadratsætning 1 (eller 2. Jeg er ikke helt sikker), til følgende:
((a^2)/4)) + 9

Jeg forstår desværre ikke, hvilke trin man skal følge for at opnå dette resultat, og jeg er desværre heller ikke så fortrolig med kvadratkomplettering. Er der nogen, der kan forklare trinnene på en enkel måde, så man kan nå frem til dette svar?

Brugbart svar (0)

Svar #1
03. februar kl. 13:03 af AMelev

Det giver ikke umiddelbart mening. Hvem har spist x og y?
Læg lige et billede af opgaven op.

Brugbart svar (0)

Svar #2
03. februar kl. 13:21 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllllll} &x^2+ax+y^2-6y\\\\& \left ( x^2+2\cdot \frac{a}{2}\cdot x \right )+\left ( y^2-2\cdot y\cdot 3 \right )=0\\\\& \left (x^2+2\cdot x\cdot \frac{a}{2} +\left ( \frac{a}{2} \right )^2 \right )-\left ( \frac{a}{2} \right )^2+\left (y^2-2\cdot y\cdot 3+3^2 \right )-3^2=0\\\\& \left ( x+\frac{a}{2} \right )^2-\left ( \frac{a}{2} \right )^2+\left (y-3 \right )^2-3^2=0\\\\& \left ( x+\frac{a}{2} \right )^2+\left (y-3 \right )^2=\left ( \frac{a}{2} \right )^2+3^2\\\\& \left ( x+\frac{a}{2} \right )^2+\left (y-3 \right )^2=\frac{a^2+36}{4} \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
03. februar kl. 13:39 af MentorMath

Hej,

Det er altid en god ide, for overskuelighedens skyld, at samle de led, der indeholder x'er og de led, der indeholder y'er.

Altså:

x² + y² + ax - 6y = 0 ⇔

(x² + ax) + (y² - 6y) = 0.

Alt efter hvor stærk du er i algebra og hvor stærk du er i at bruge kvadratsætningerne, er det næsten, kunne jeg forestille mig, nemmere at forstå princippet bag kvadratkompletting ud fra en video, og så sammenligne med metoden i #2.

Se eventuelt disse videoer, der alle forklarer det med kvadratkompletteing på lidt forskellige måder:

Fra 4:50 - https://www.youtube.com/watch?v=Bwwt7gYwTNM

Fra 16:16 - https://www.youtube.com/watch?v=QY1eN2YpbIY

https://www.youtube.com/watch?v=VMtW7bsxBRs

Hvis du har spørgsmål eller er i tvivl om noget fra videoerne, vil vi gerne hjælpe med det også. Så skriver du bare igen.

God lørdag!

Brugbart svar (0)

Svar #4
03. februar kl. 13:45 af ringstedLC

Kvadratet på en toleddet størrelse giver tre led. Ligningen har to gange to led.

To ekstra led adderes på hver side (ligningen kvadratkompletteres):

$\begin{align*} x^2+a\,x+y^2-6\,y &= 0 \\ x^2+a\,x\,{\color{Red} {\color{Red} +\,(\tfrac{a}{2}})^2} +y^2-6\,y\,{\color{Red} +\,(\tfrac{6}{2})^2} &= 0\;{\color{Red} {\color{Red} +\,(\tfrac{a}{2}})^2}\,{\color{Red} +\,(\tfrac{6}{2})^2} \\ x^2+a\,x+\tfrac{a^2}{4}+y^2-6\,y+3^2 &= \tfrac{a^2}{4}+3^2 \\ \bigl(x+\tfrac{a}{2}\bigr)^2+\bigl(y-3\bigr)^2 &= \tfrac{a^2}{4}+9 \end{align*}$

Det går altså udpå at bestemme hvad der "mangler" for at få kvadratet på en toleddet størrelse. Her mangler kvadratet på det andet led som så findes udfra det dobbelte produkt (af leddene).

NB. Kvadratsætningernes numre skal du ikke bruge tid på. Det er deres anvendelse, der er vigtig!

Brugbart svar (0)

Svar #5
04. februar kl. 01:08 af SuneChr

For cirklen gælder:
(x - α)² + (y - β)² = r²⇔
x² + y² - 2αx - 2βy + (α² + β² - r²) = 0
Aflæs koefficienter og konstantled og løs:
- 2α = a
- 2β = - 6
α² + β² - r² = 0

Skriv et svar til: Kvadratkomplettering

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.