Eksponentiel vækst

Formlen a=1+r kan bruges i en del sammenhænge, men et helt oplagt eksempel er i forbindelse med renter (sikkert deraf r'et kommer).

Lad os sige, at du sætte 10000 kroner i banken i 15 år, med en årlig rente på 5%.

Hver eneste gang der tilskrives renter, kan du så forvente, at din nye saldo bliver det gamle beløb, plus 5% af det - altså gammelt beløb*1,05.

Her bliver r altså 0,05 (5% i decimaltal), og a bliver 1+0,05=1,05.

Hvis du så vil beregne hvor meget du får efter 10 år, skal du bare gange med 1,05 10 gange - altså 1,05^10. Og så har vi den gammelkendte forskrift for en eksponentiel udvikling:

y = b*a^x

som så er det samme som

y = b*(1+r)^x

Netop når man arbejder med økonomi, bruger man tit alternative udgave

K_n = K_0 * (1+r)^n

Hvor K_0 selvf. er det beløb man indsætter i første omgang, og K_n er beløbet efter n terminer.

Vil du så være sød at fortælle mig hvad der så menes med en fordoblingskonstant? Hvad er forskellen på den om en fremskrivningsfaktor?

Fordoblingskonstanten siger, hvor meget større x skal blive, for at f(x) bliver dobbelt så stor. Kendetegnet ved eksponentielle udviklinger er netop, at de har samme fordoblingskonstant lige meget hvilken x-værdi du kigger på (det gælder jo ikke for f.eks. lineære funktioner).

Fremskrivningsfaktoren a siger til gengæld noget om, hvor meget større f(x) bliver, når x vokser med 1.

#2:
Lad f: R -> R være en eksponentiel udvikling;

f(x) = b*a^x

hvor a,b > 0 er vilkårlige konstanter. Undertiden kaldes a fremskrivningsfaktoren.

Lad x være et reelt tal. Da er

f(x + 1) = b*a^(x + 1) = b*a*a^(x) = a*f(x)

Heraf ser vi, at en tilvækst i x på 1 fremskriver f en faktor a; heraf betegnelsen fremskrivningsfaktor.
Undertiden skriver man

a = 1 + r

hvor r angiver den procentuelle vækst (tænk fx på rentesregning; saldoen på en konto, som i et år står uberørt hen til en årlig rente på r = 5%, vil efter et år være en faktor 1,05 større).

Vi kan nu dele op i tre tilfælde:

0
a = 1: f er konstant
a > 1: f er voksende

Ovennævnte observationer motiverer os umiddelbart til at indføre betegnelserne halveringskonstant (0 < a < 1) og fordoblingskonstant (a > 1) for en eksponentiel udvikling.

Lad a > 0, a ej lig 1, og lad k > 0 være et positivt tal. Da er

f(x + k) = b*a^(x + k) = (a^k)*f(x)

Vi husker, at værdimængden for eksponentialfunktionen er R+. Specielt findes k, k' > 0 således, at

a^k = 1/2, hvis 0
a^k' = 2, hvis a > 1

Ved brug af logaritmeregnereglen "log(a^k) = k*log(a)" følger det, at

a^k = 1/2 <=> k = -log(2)/log(a)

a^k' = 2 <=> k' = log(2)/log(a)

Konstanterne k og k' kaldes halveringskonstanten (0 < a < 1) hhv. fordoblingskonstanten (a > 1) for en eksponentiel udvikling f og betegnes traditionelt T_½ hhv. T_2. Altså

T_½ = -log(2)/log(a)
T_2 = log(2)/log(a)

Jeg håber, at ovenstående kunne kaste lidt lys over sagen.

//Epsilon

Hvordan kan man, med ord, forklare hvordan en fordoblingskonstant beregnes? Altså uden fx at skulle aflæse den på en graf?

#5:
Det står at læse i indlæg #4. Fordoblingskonstanten T_2 kan beregnes alene ud fra kendskab til konstanten a i funktionsudtrykket. Betegnelsen fordoblingskonstant i den forstand, den er defineret, giver naturligvis kun mening, såfremt a > 1.

//Epsilon