Eksponentiel vækst

Et eksempel på en ligning, hvor der er et ekspontielt led (Det må være det der menes med en eksponentielle ligninger...):

e^(k*x)= 4

Den kan løse ved at tage logaritmen på hver side:

k*x = ln(4) <=> x = ln(4)/k


Lidt om logaritmen:

Logaritmen har følgende egenskab:

hvis y = e^x så er x = ln(y) (Her skal y være større end 0).

Eksponentielle funktioner bruges til at beskrive talstørrelser, der regelmæssigt ændrer sig med et bestemt antal procent. Begrebet eksponentiel vækst bruges ofte til at beskrive udvikling af økonomi og bestande som fx verdens befolkning. Eller i disse opgaver, hvor eksponentielle funktioner bruges til at måle temperaturændringen og udviklingen af bakterier.
Bakterier deler sig nemlig ved mitoser, hvor en celle bliver til 2 celler med samme kromosomtal som den oprindelige celle, og ved meioser, hvor der dannes 4 celler med det halve kromosomtal som den oprindelige celle. Hvis eksempelvis en bakteriecelle deler sig i to hvert tiende minut, vokser den eksponentielt. For hver celle vil der efter 10 minutter være 2 celler. Efter de næste ti minutter vil der være 4 celler, ti minutter senere vil der være 8, derefter 16. Jo flere bakterieceller der er, des flere nye kan der dannes. Dvs. der opstår en eksponentiel vækstfunktion.

Forskellen mellem en eksponentiel og en lineær vækst:

Ved en eksponentiel vækst stiger y altid med en fast procent når x øges med 1.
Ved en lineær vækst stiger y altid med en fast værdi når x øges med 1.

Eksponentielle funktioner skrives ofte på formen:

y = f(x) = b*a^x

Ved eksponentielle funktioner gælder det at y-værdien vokser med en konstant procent, når man går en enhed hen ad x-aksen, uanset hvor på x-aksen man befinder sig.

- en positiv vækst når a > 1
- en negativ vækst når a < 1
- en ret linje når a = 1

Bogstaverne a og b er begge konstanter, hvor at a kaldes fremskrivningsfaktoren, der svarer til en x-tilvækst på 1, dvs. når x vokser med 1 så ganges y med a. En procentændring kan være positiv eller negativ. Når en procentændring er positiv, er der tale om en stigning.

Konstanten b er lig med skæringen med y-aksen, og er begyndelsesværdien, dvs. den y-værdi der svarer til x = 0.

Hvordan ser en grafen ud, når en eksponentiel funktion er aftagende?

Prøv at plot exp(-x); her:

http://www.walterzorn.com/grapher/grapher_e.htm