En bøje

Opdrift  er massen af den væske der fortrænges = massefylde af den væske der fortrænges * rumfang af den væske, der fortrænges. = massefylde af væske* rumfanget af den del af bøjen der er under væskeoverfladen

#1

F_op = ρ (π · (0,5m)² · 0,55m) · (9,82 m/s²) ≈ 4,242 · δ

Er vi enige om, at facit bliver i N (newton)?

Ja hvis radius af bøjen er 0,5 m

#3

Godt.

Hvad med når man skal bestemme den resulterende kraft på bøjen, når den presses y [m], dvs. y < 0,2 m ned, og derpå slippes således at den svinger?

Du bruger samme formel som før til at finde opdriften Opdriften vil så være en funktion af x. Denne opdrift -tyngdekraften på bøjen fundet ovenfor er så den resulterende kraft på bøjen.

#5

I opgaven står der, at der skal anvendes Newtons lov: "kraft er lig med masse gange acceleration".

Kan denne bruges?

Ja. Du bruger den faktisk i #2

#7

Ja, kan godt se det nu, men du siger, at opdriften skal være en funktion af x. Jeg går ud fra, at x betegner højde? Hvordan får jeg det skrevet op?

Jeg skulle have kaldt den y for at holde mig til betegnelserne. Presser du den y meter ned er cylinderbunden y+0,55 m under overfladen. I din formel i #2 skal du så blot erstatte de 0,55 m med 0,55m+y

#9

Facit skal give 7,713 · ρ · y, og det vil det ikke gøre, hvis jeg gør som du siger.

Enheden i #2 må da også give kN, eller?

#11 (efter opfordring)

Lad cylinderen have radius r = 0,5m og højden H = 0,75m , og lad h = 0,55m være højden under vandet. Bøjen fortrænger da et volumen vand

V_vand = πr²·h

og opdriften på bøjen er netop lig i størrelse med tyngden af den fortrængte mængde vand:

F_op = V_vand·ρ_vand·g = πr²·h·ρ_vand·g ,

mens tyngden på bøjen er

F_t = πr²·H·ρ·g .

Da bøjen netop flyder, er F_t = F_op , så

H·ρ = h·ρ_vand .

Heraf fås så

ρ = ρ_vand·h/H = (0,55/0,75)·ρ_vand = 0,7333·ρ_vand

Presses cylinderen yderligere stykket y ned i vandet, virker der en ekstra opdrift svarende til tyngden af den ekstra fortrængte mængde vand, dvs

F_res = πr²·y·ρ_vand·g = 7,713m³s^-2·ρ_vand·y = 7713Nm^-1·y ,

hvor jeg har brugt ρ_vand = 1000kg/m³

#12 Rent faktisk er der i opgaven kun angivet at det er en væske ikke at det er vand.

#12

Tak. Facit kan man nøjes med at gange ind til sidst, da denne værdi er ukendt.

#13

Ja, det er jo korrekt. I #12 skal ρ_vand så læses som ρ , og ρ skal læses som ρ_bøje .

#15

Hvad er forskellen mellem lille h og stor H?

Rettelse til #14: **Densitet kan man nøjes med at gange ind til sidst som en variabel**

Se #12 anden linje

Ja

#17

Ja, tak. :-)

#12

Hvorfor er det interessant at isolere densiteten for bøjen i 5. sidste linie? Bruger vi den til noget?

Sidste spørgsmål for i dag.

Ligningen for svingningen skal nu findes. Til opstillingen af ligningen for svingningen skal anvendes, at y betegner svingningens form (y er stedet til det betragtede tidspunkt), y' betegner hastigheden (ændring i sted) og endelig y'' betegner accelerationen (ændring i hastighed).

Mit bud:

m · y'' = -k · y (ligevægt)

m · y'' + k · y = 0 (denne har formen a · d²y/dx² + b· y = 0)

Her gættes løsningen y = e^Px, y' = P · Pe^Px og y'' = P² · e^Px. Hvis dette er tilfældet, skal det passe ind i ligningen foroven, dvs.:

m · P² · e^Px + k · e^Px = 0 <--> e^Px (m · P² + k) = 0

Her kan e^Px aldrig give nul, hvorfor andengradspolynomiet undersøges, som vist:

P = (- b ± √(b² - 4 · a · c))/(2 · a) = (± √(4 · m · k) · √(-1))/(2 · m) = ± 1/(2 · m) · √(4 · m · k) · i.

Da der er tale om komplekse rødder, kan vi bestemme den fuldstændige løsning ved:

y = e^αx (A · cos(β · t) + B · sin(β · t)).

Vores rødder gav da: 0 ± 1/(2 · m) · √(4 ·m ·k), hvor α = 0 og β = 1/(2 · m) · √(4 ·m · k).

Jeg vil mene, at "fjederkonstanten", k, i vores tilfælde er, den værdi som blev fundet i #12, dvs. 7,713 kN. Hvis massen, m, er π · (0,5m)² · 0,55m = 0,432m³ (ved ikke hvordan jeg får masse, når jeg ikke kender densitet), bliver de komplekse rødder hhv. ± 0,04225.

Løsningen bliver da: y = e⁰ (A · cos(0,042 · t) + B · sin(0,042 · t)).

Problemet er så, at β SKAL give 4,23 i følge facitlisten. Nogen, der kan se en fejl?

Tak på forhånd!