Side 4 - Konvergens og divergens

#60

n'erne elimineres ikke. Man lader n gå mod ∞ .

        |a_n+1/a_n| = n²/(n+1)² = 1/(1 + (1/n))² → L = 1 for n → ∞ . Derfor er R = 1/L = 1.

#61

Ok, så langt så godt. Så er vi tilbage til, hvor vi skal finde ud af, om de tre rækker konvergerer eller divergerer lige præcis langs randen af cirklen.

I første række satte du blot z = 1 og fandt ud af, at det kunne reduceres til 1/n² og som du har eftervist, at denne række er konvergent med et tal, der er under 1. Hvad ville der ske, hvis z = -1? Jeg kunne ikke helt finde ud af, hvor du fik de numeriske tegn fra (|z|).

#62

En række ∑ a_n er absolut konvergent, hvis rækken ∑ |a_n| er konvergent.

For potensrækken  ∑ zⁿ/n²  har man på randen af konvergenscirklen, at |z| = 1 . Da rækken ∑ 1/n² er konvergent, er rækken ∑ |z|ⁿ/n² derfor konvergent, når |z| = 1. Rækken ∑ zⁿ/n²  er derfor absolut konvergent på hele konvergenscirklens rand, og den er derfor også konvergent, hvis z = -1 eller z = 1 .

Bogen viser tre forskellige eksempler.

I det første eksempel ∑ zⁿ/n² er potensrækken konvergent for ethvert punkt på konvergenscirklens rand.

I det andet eksempel ∑ zⁿ/n er der både punkter på randen, hvor potensrækken er konvergent, og der er punkter på randen, hvor potensrækken er divergent.

I det tredje eksempel ∑ zⁿ er potensrækken divergent i ethvert punkt på konvergenscirklens rand.

#63

Er det nemt at bevise konklusionen på eksempel 2? Jeg har i øvrigt ikke hørt om Leibniz's test.

I eksempel 3 kan jeg ved at regne summationen ud med z = 1, at rækken går mod uendelig for n gående mod uendelig, men hvis z = -1, så går rækken mod 0 for n gående mod uendelig. Gør den ikke?

#64

Leibniz' test er det kendte kriterie for konvergens af en alternerende række. Hvis {a_n} er en dalende følge af positive reelle tal, der er konvergent med grænseværdi 0, er den uendelige alternerende række
∑_n (-1)ⁿ⁺¹a_n konvergent. Se, f.eks. http://mathworld.wolfram.com/LeibnizCriterion.html

I eksempel 3 drejer det sig om potensrækken ∑_n zⁿ . Hvis z = -1, drejer det sig om rækken ∑_n (-1)ⁿ , og hvis z = 1, drejer det sig om rækken ∑_n 1 . Begge rækker er divergente.

Hvis en række ∑^∞_n=1 a_n med komplekse led er konvergent, følger det, at a_n → 0 for n → ∞ .

For rækken ∑^∞_n=1 zⁿ har man på randen af konvergenscirklen, at |z| = 1. Punkterne zⁿ forbliver derfor på konvergenscirklens rand, idet |zⁿ| = |z|ⁿ = 1 . Følgen zⁿ går derfor ikke mod 0 for n → ∞ , og derfor er rækken ∑^∞_n=1 zⁿ ikke konvergent for noget punkt på konvergenscirklens rand.

#65

Det må jeg tjekke, men kan du hjælpe mig med, hvordan man omskriver (første lighedstegn) og bagefter kommer frem til 1/4 i det følgende:

https://dl.dropboxusercontent.com/u/31729551/2.jpg

#67

Du skal jo benytte relationen fra #13:

        (n+1)! = (n+1) · n!

Tilsvarende er jo så

        (2n+2)! = (2n+2)·(2n+1) · (2n)! .

Udtrykket fremkommer så ved at forkorte. I den sidste brøk forkorter man så med n² .

        (n+1)² / ((2n+2)·(2n+1)) = (1 + (1/n))² / ((2 + (2/n))·(2 + (1/n))) → 1² / (2·2) = 1/4 for n → ∞ .

#68

Hvordan omskrev du (n+1)² til (1 + 1/n)². Det er vel ikke helt korrekt? Eller har du forkortet med noget?

Hvis du ganger det hele ud får du, at (n+1)(n+1)=n²+2n+1 og du har så i tælleren at 4n²+6n+2. På den anden side har du 1+(2/n)+1/n² i tælleren, og du har så 4+6/n+2/n². Du ser altså, at Andersen11 har forkortet med n²

#69

Som forklaret i #68 forkortes brøken med n² . Tæller og nævner divideres hver med n² .

#70 og #71

Super.

Jeg sidder stadigvæk og kigger på eksempel 2 og eksempel 3 fra før.

I eksempel 2 skrev du, at vi bruger Leibniz' regel, som bruges for en alternerende række. Vi har da ingen alternerende række i eksempel 2 - altså hvor ledene skifter fortegn? Derudover kan jeg ikke se, hvordan vi bruger det på vores eksempel.

I eksempel 3 sætter vi |z| = 1 (hvor z både må være lig 1 og -1), for at tjekke om rækken er absolut konvergerende. Vi finder straks ud af, at rækken kommer til at hedde ∑ |z|ⁿ = ∑ 1ⁿ, hvilket kun kan blive større for n gående mod uendelig. Deraf divergerer rækken. Er det korrekt forstået?

#72

Eksempel 2 drejer sig om potensrækken ∑ zⁿ/n og dens opførsel på randen af konvergenscirklen. Konvergenscirklens radius er 1 . Punktet z = -1 ligger på konvergenscirklens rand, og rækken svarende til z = -1 er netop den alternerende række ∑^∞_n=1 (-1)ⁿ/n , der er konvergent.

Rækken svarende til z = 1 er den harmoniske række ∑^∞_n=1 1/n , der er divergent.

I Eksempel 3 betragter man potensrækken ∑ zⁿ , der også har konvergensradius 1. Læs #66. Man betragter et vilkårligt komplekst tal z med |z| = 1. Det er klart, at følgen {zⁿ} ikke går mod 0, fordi |zⁿ| = |z|ⁿ = 1, og derfor er potensrækken ∑ zⁿ ikke konvergent for |z| = 1 .

#73

Jeg skal lige være sikker på, om {a_n} som du nævner i #65 svarer her til 1/n?

#74

Det er en generel følge, der tænkes på i kriteriet i #65. Den benyttes så på den dalende følge 1/n og den dertil hørende alternerende række ∑_n (-1)ⁿ⁺¹a_n .

#75

Tak - jeg har endelig knækket den.