Kæderegel

Funktionen y skal forstås som y(ε) i #0

Du ved jo, at ε er proportional med x , så der er ingen grund til rode med afledede af ε og slet ikke af x.

        dy/dx = dy/dε · (1/L)

        d²y/dx² = d/dx(dy/dε · (1/L)) = (1/L)²·d²y/dε²

Men selv med en mere generel sammenhæng  ε(x) har man

       dy/dx = dy/dε · dε/dx

       d²y/dx² = d²y/dε² · (dε/dx)² + dy/dε · d(dε/dx)/dx

                   = d²y/dε² · (dε/dx)² + (dy/dε) · d²ε/dx²

Den første er rigtig men ikke den anden. Det er det sidste lighedstegn, der er forkert.

Jeg ved ikke hvad du har gjort  ved brug af reglen om differenntiation af et produkt

1. d/dx(dy/dε · dε/dx) = d/dx(dy/dε) · dε/dx+ dy/dε · d²ε/dx² = d²y/dε²* (dε/dx)²+ dy/dε · d²ε/dx²

#2 og #3

Jeg tror, at jeg har fundet min egen fejl.

Vi ved, at: dε/dx = 1/L, så må d²ε/dx² = 0, ikke? Giver det stadigvæk 0, når L kan omskrives til x/ε?

#4

Ja, som nævnt i #1 er ε en lineær funktion af x. Hvis der ikke er en lineær sammenhæng, kan du benytte udtrykkene til sidst i #2 eller #3.

#5

Jeg kunne også skrive:

dε/dx = 1/L = 1/(x/ε)

dvs.

d²ε/dx² = d/dx(1/(x/ε)) = -ε/x² ≠ 0

#6

Nu må du lige styre det der lidt. 1/(x/ε) er jo en konstant, hvis afledede er lig med 0.

Ellers skal du lige benytte reglerne for differentiation af sammensatte funktioner korrekt. Du kan ikke lege, at ε er konstant mens du lader x variere.

#7

Du har ret. Tak.

#7

Kan vi egentlig se, hvad enheden er for:

dy/dε, d²y/dε², d³y/dε³, ...?

Kan det virkelig passe, at de allesammen har enheden længde?

#9

Det kommer da helt an på, hvad enheden er for de enkelte størrelser.

Man har dog

        [dy/dε] = [y] / [ε]

        [d²y/dε²] = [y] / [ε]²

        [d³y/dε³] = [y] / [ε]³

Enheden for y forekommer i samme lineære potens, mens enheden for ε forekommer i en potens svarende til den aflededes orden.

#10

ε = dimensionsløs

x = [m]

L = [m]

Hvordan kom du frem til de udtryk i #10?

#11

y skal jo divideres med εⁿ .

Tænk på hastighed og acceleration.

#12

Ja, det er rigtigt. Tak.