Matematik

εδ-definition

22. december 2014 af Stats - Niveau: A-niveau

De beskriver definitionen som:

Vi siger at f(x) nærmer sig A som grænse når x går mod a,og skriver:

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=A$

Dersom det til ethvert tal ε > 0 findes et tal δ > 0 sådan at

$|f(x)-A|<\varepsilon \ n\aa r \ bare \ 0<|x-a|<\delta$

De har nu givet et eksempel på dette.

Brug definitionen til at vise at

$\lim_{x\rightarrow 2}(3x-2)=7$ (1)

Løsning:
|f(x)-A|=|(3x-2)-7|=|3x-9|=3|x-3| (2)
Lad ε > 0 være givet. Ved at vælge δ = ε/3 ser vi af (2) at om |x-3|<δ, der er |f(x)-A| = 3|x-3| < ε. Ved definition er (1) dermed vist..

De skriver da efterfølgende: Læg mærke til, at værdien af δ i definitionen ikke er entydig. Har vi fundet en værdi af δ, vil en enhver mindre værdi af δ kunne bruges. I eksemplet vælge vi δ = ε/3, men kunne foreksempel have valgt δ = ε/4 eller δ = ε/100 men ikke δ = ε/2

Hvordan finder de frem til "ved at vælge δ = ε/3", og hvorfor kan/må δ ikke være ε/2

Brugbart svar (1)

Svar #1
22. december 2014 af Heptan

Af uligheden

3|x - 3| < ε

fås

|x - 3| < ε/3

Det er netop den største værdi det herom gælder, og alle mindre værdier gælder også.

Man udnytter at |x - 3| optræder i begge udtryk, og man kan derfor finde frem til en sammenhæng mellem delta og epsilon

Svar #2
22. december 2014 af Stats

Ok tak... Jeg tænkte det godt, men var ikke sikker på om det var korrekt.. :)

takker

- - -

Mvh Dennis Svensson

Brugbart svar (1)

Svar #3
22. december 2014 af LeonhardEuler

#0 : Det er ikke korrekt. Du kan benytte epsilon/delta - definitionen til at vise

$\lim_{x\rightarrow 2}(3x-2)\neq 7$

Brugbart svar (1)

Svar #4
22. december 2014 af Andersen11 (Slettet)

Ja, det er korrekt. Der er måske en tastefejl i #0. Der gælder, at

$\lim_{x\rightarrow {\color{Red} 3}}(3x-2)=7$

Svar #5
22. december 2014 af Stats

Ja hov... Det beklager jeg.. Det kan selvfølgelig være misvisende hvis det ikke står korrekt...

Det skulle stå som i #4 angiver det

- - -

Mvh Dennis Svensson

Brugbart svar (1)

Svar #6
22. december 2014 af Andersen11 (Slettet)

Man har så

f(3+δ) - 7 = 3·(3+δ) - 2 - 7 = 3δ

så

|f(3+δ) - 7| = 3·|δ|

Hvis man derfor for et givet ε > 0 vælger δ så at |δ| < ε/3 , vil der gælde

|f(x) - f(3)| < ε , for alle x med |x-3| < δ .

Svar #7
23. december 2014 af Stats

Men hvordan kan dette bevise udtrykket`?

$\lim_{x\rightarrow 3}3x-2=7$

Jeg kan godt se logikken bag det, men jeg kan endnu ikke se, hvordan at det skal bevise udtrykket :/

- - -

Mvh Dennis Svensson

Brugbart svar (1)

Svar #8
25. december 2014 af Andersen11 (Slettet)

Det viser, at funktionen f(x) er kontinuert i x₀ = 3 med f(x₀) = 7 .

Skriv et svar til: εδ-definition

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.