Matematik

Markovkæde

28. december 2014 af ma1908 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg sidder virkelig fast i denne opgave, så jeg håber der er nogen, som kan hjælpe mig lidt videre.

Jeg betragter en markovkæde i kontinuert tid på et tælleligt tilstandsrum S={0}∪{(i,j) I i ∈A,j∈N }, hvor A={A,B,C,D,E,F}. Overgangsintensiteterne er givet ved

$q_{(i,j),(i,j+1)} & =j\beta_i,& j\in \mathbb{N},\ i\in A \\ q_{(i,j),(i,j-1)} & =j\delta_i,& j\geq 2,\ i\in A\\ q_{(i,1),0} & =\delta_i,& i\in A\\ q_{0,(i,1)} & =1,& i\in A$

Jeg skal nu give et argument for, at eksplosion ikke kan forekomme. Ved eksplosion forstår vi, at markovkæden springer uendelig mange gange inde for et endeligt tidsinterval. Jeg har en sætning, jeg tænker, at jeg skal bruge, som siger at eksplosion er mulig hvis og kun hvis

$\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{\beta_i}+\frac{\delta_i}{\beta_i\beta_{i-1}} + \cdots + \frac{\delta_i\cdots \delta_1}{\beta_i\cdots \beta_0}<\infty$

$\beta_i=q_{i,i+1}$, $\delta_{i+1}=q_{i+1,i}$ \text{ og } $-(\beta_{i+1}+\delta_{i+1})=q_{i+1,i+1}$ er overgangsintensiteter for processen (undskyld dårlig notation!)

Jeg kan ikke komme frem til et brugbart udtryk i summen, så jeg kan vise at rækken ikke konvergerer. Håber meget nogen kan hjælpe!

Brugbart svar (0)

Svar #1
29. december 2014 af LeonhardEuler

Kan det ikke eventuelt vises induktivt?

Skriv et svar til: Markovkæde

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.