Fra differentialligning til differensligning

Når tidsskridtet ikke går mod nul,
er
                       identisk med    
hvilket er ligningen for sekanten i (x_o,y_o).

Men hvordan vil jeg fx gå fra

til:

Via integration.

Hvordan? 

Ingen bud?

(S_t+1-S_t)/h ≈ -a*S_t*I  <=>  S_t+1-S_t ≈ -a*S_t*I*h

Du mangler h på højre side.

For en ordens skyld: Der findes også andre og bedre tilnærmelser til differentialkoefficienten, der fører til differensligninger

korrektion til #1's sidste linje:
 

          hvilket er ligningen for sekanten gennen punkterne (x_o,y_o) og (x,y).

Måske er det mig, der har fat i den forkerte ende, men jeg ved, at der ikke skal være et h påsat differensligningen. Jeg skal nemlig redegør for, hvordan jeg når frem til disse tre koblede differensligninger, som SIR-modellen består af. Ligningerne er vedhæftet som fil. Og jeg har absolut ingen anelser om, hvordan jeg skal redegøre for dem. 

I det vedlagte står der ikke noget om hvad de har med differentialligninger at gøre, hvordan de er fremkommet og hvad de forskellige symboler står for. Jeg fortæller kun, hvordan man kan kom frem fra en given differentialligning til en differensligning, som kan løses numerisk. I alle metoder til numeriske løsning af differentialligninger indgår der en skridtlængde, som jeg her har kaldt h

Du har fuldstændig ret, og jeg siger blot, jeg ikke ved om det er den fremgangsmåde, man skal gå for at redegøre for de vedhæftede differensligninger, altså fra differentialligning til differens. Det var bare en tanke. Hvis nogen har et foreslag til, hvad man ellers kan gøre for at redegøre for differensligningerne, er i meget velkomne. 

Der er mange aspekter på det emne. Newton  brugte grænseværder medens Lebnitz brugt infinitesemale størrelser.