monotoni

1. Tangentens ligning f'(x₀)(x - x₀) + f(x₀)

2. Løs f'(x) = 0. Undersøg derefter fortegnsvariation

#1

Hej min ven!

Hav en fortsat god aften.

Lige over :)

men ved ikke helt om intervallerne er skrevet rigtigt op:

aftagende ] - uendelig, -1,79]

voksende [1,79 ; uendelig[

f(x) = 5·2^x + x

f'(x) = (5·2^x + x)' = (5·2^x)' + (x)'

(5·2^x)' = (5)'·2^x + 5·(2^x)' = (0)·2^x + 5·(2^x·ln 2) = 5·2^x·ln 2
(x)' = 1

f'(x) = (5·2x + x)' = (5·2x)' + (x)' = 5·2^x·ln 2 + 1

Sæt funktionen lig med 0

f'(x) = 0
5·2^x·ln 2 + 1 = 0 ⇔ 5·2^x·ln 2 = -1 ⇔ 2^x = -1 / (5·ln 2) ⇔ ln 2^x = ln(-1 / (5·ln 2)) (Her går den galt)

ln(a) er kun defineret for a > 0, og der er dermed ingen nulpunkter.
Dvs. at den enten kun er voksende eller aftagende.

Indsæt en værdi i f'(x), for at afgøre om den er voksende eller aftagende..

#4

Man skal angive eksakte værdier, ikke tilnærmede decimaltal.

b) Man skal løse ligningen    f '(x) = 0 , dvs

        5·ln(2)·2^x - 1 = 0

der har løsningen

        x = -ln(5·ln(2)) / ln(2) ≈ -1,79316

Man ser, at f '(x) < 0 for x ∈ ]-∞;-ln(5·ln(2)) / ln(2)[ , og at f '(x) > 0 for x ∈ ]-ln(5·ln(2)) / ln(2);∞[ .

Funktionen f(x) er altså

aftagende i intervallet ]-∞;-ln(5·ln(2)) / ln(2)[ og

voksende i intervallet ]-ln(5·ln(2)) / ln(2);∞[ .

Udregningerne i #5 er baseret på en fejllæsning af funktionsforskriften for f(x) og kan ikke anvendes her.