Matematik

Diagonalisering

21. maj 2015 af Linda95 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Jeg har løst denne opgave, men kan ikke få den sidste opgave del 4 til at gå op. Jeg har både vedlagt opgaven og dens løsning. Er der nogen der kan se hvordan de opstiller en diagonalmatrix for B?

Mange tak på forhånd!

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2015-05-21 kl. 19.23.14.png

Svar #1
21. maj 2015 af Linda95 (Slettet)

Løsningen er dette

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2015-05-21 kl. 19.23.28.png

Brugbart svar (1)

Svar #2
22. maj 2015 af Therk

I opgave 2 har du vist at

$\Lambda = V^{-1} A\,V$

så

$V \Lambda\, V^{-1} = A$ .

For to diagonalmatricer X og Y gælder der særligt at

$X\cdot Y = \begin{pmatrix} x_{11}y_{11} & 0 & \cdots & 0\\ 0& x_{22}y_{22} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0& \cdots &0 & x_{nn}y_{nn} \end{pmatrix}$

så vi kan udnytte at $\Lambda$ er en diagonalmatrix! Navnlig: Konstruér en ny matrice D hvis indgange er givet ved kvadratroden af indgangene i $\Lambda$ . Da må nemlig

$D\cdot D = \Lambda$

og dermed kan vi konstruere

$B = V D \, V^{-1}$

fordi

$\begin{align*} B\cdot B &=( V D \, V^{-1}) (V D \, V^{-1}) \\&= V D \, \underbrace{(V^{-1} V)}_I D\, V^{-1} \\& = VDD\,V^{-1} \\ &= V\Lambda \, V^{-1} \end{align*}$

Svar #3
22. maj 2015 af Linda95 (Slettet)

Hej mange tak for hjælpen. Det hele virker forståeligt pånær hvordan D opstilles. Når jeg prikker diagoanl matricen med sig selv så får jeg ikke den rigtige D matrice som jeg skal bruge til at bestemme B.

Brugbart svar (1)

Svar #4
22. maj 2015 af Therk

Du skal også gøre det omvendt. Du skal finde den matrice, som prikket med sig selv giver diagonalmatricen $\Lambda.$

Da 2^2 = 4 , så må ikke-nul-indgangene i D være lig 2. Fordi da bliver $D\cdot D = \Lambda$ , dvs. konstruér D nøjagtig som Lambda ser ud, men indgangene i D skal være lig kvadratroden af indgangene i Lambda.

Fremgangsmåden er ligesom når du skal løse ligningen

x^2 = 4 .

Jeg håber jeg formulerede mig lidt bedre denne gang.

Svar #5
22. maj 2015 af Linda95 (Slettet)

Tusind tak Therk dine forklaringer er super gode og pædagogiske !!! Tak igen!!

Svar #6
22. maj 2015 af Linda95 (Slettet)

Må jeg lige spørge dig om en sidste ting? Hvordan kan vi se at vi for diagonalmatrice for A har egenværdierne 4,4 altså dobbeltrod for jeg ser det som en enkeltrod?

Svar #7
22. maj 2015 af Linda95 (Slettet)

Og kan du evt. fortælle lidt om diagonalisering hvad betyder begrebet og hvad skal man være særlig opmærksom på? Her skulle man logisk se det for sig:)

Skriv et svar til: Diagonalisering

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.