Dobbeltintegral

Hvis du får sådan en opgave må du da have lært noget om dobbeltintegraler. Hvordan du finder grænserne ser du nemmest ved at lave en tegning.

Er der nogle, der kan hjælpe mig med opgaven?

Jeg har prøvet og prøvet, men ka ikke få det til at gå op..ka ikke se hva jeg gør forkert/hvrodan det gøres korrekt. Mit bedste forsøg, der var tættest på facit blev:

På forhånd tak!

#3 Hvad er facit? (Jeg får 4/3) 

V = ∫₀¹∫₀¹ 4-x-y dxdy

Facit er 2/3

Yess!! :D Har løst den!!

Meen.. hvordan gøres dette: Tegn en skitse og kontroller volumenberegningen ved hjælp af "vektorregning"  ?

Og hvordan løses dobbeltíntegralet uden hjælpemidler? :/

1) Du tager en skive ud af legemet med tykkelsen dx ved af lægge et snit gennem legemet parallelt med x-z planen. Denne skive er vist med rødt. Kanten af skiven følger linjen z = 4 - 4x - 4y, hvor y holdes konstant.

2) Skiven fra 1) deles i rektangulære stykker med tykkelsen dx. Disse stykker lægges sammen fra 0 til y, idet y holdes konstant. Dermed får man skivens areal. (De rektangulære stykker er ikke tegnet.) 

3) Disse skiver skal nu integreres fra 0 til 1 langs med y-aksen. Tykkelsen skal være dy og ikke dx, som der stod under 1).

#10 ...Disse stykker lægges sammen fra 0 til 1-y, idet man får sammenhængen x = 1 - y, når man sætter z = 0: 0 = 4 - 4y - 4x => x = 1 - y. 

Resultatet bliver 2/3. Jeg lavede en geometrisk beregning i #4 og glemte at gange med en halv for at få arealet i en trekant.

Jeg forstår ikke, hvordan du tegner de der treanter.. jeg sætter z = 4 - 4x - 4y ind og får en flade :/

#13

#9 er set i perspektiv, mens #10 er set med synsretningen langs med y-aksen (vinkelret på x-z planen) og #12 er set langs med x-aksen (vinkelret på y-z planen). 

Kanten af den røde trekant i #10 har ligningen z = 4 - 4y -4x, men det forudsættes, at  y holdes konstant, dvs. ligningen bliver z = k - 4x, hvor konstanten k = 4 - 4y. 

Se evt. http://tube.geogebra.org/m/1750709.

jeg prøver, tak!

Beklager meget mit svar i #5. Det rigtige er

Hvis du indsætter skæringen med akserne får du (1,0,0), (0,1,0) og (0,0,4) Planen skærer  xy planen i en ret linje, hvilket giver at det aktuelle integrationsområde er en retvinklet trekant Grænserne i så givet ved x=0, y = 0 og x+y=1. Det giver dobbeltintegralet

∫₀¹∫₀^1-y 4-4x-4y dxdy = ∫₀¹ [4x-2x²-4yx]₀¹dx =   ... fortsæt selv

Den pågældende figur er et tetraede og der gælder at rumfanget = det(a ,b, c)/6 (på nær et evt. forteg) hvor  a, b og c er vektorer der beskriver 3 af kanterne. Her kan du vælge vektorerne givet i anden linje

I #7 fik jeg godt nok   men det er måske det samme?

#18 ...  Må jeg se mellemregningerne?
Du skal tænke på at dimensionerne skal stemme med virkeligheden: Du starter med x i første (længde) og ender med x i tredje (volumen). Her har du x i fjerde, hvilket ikke hører nogen steder hjemme.

Jeg har med lommeregner.. da det ikke er et krav lige denne gang.. men jeg er gået i gang med at prøve at regne uden hjælpemidler, hvilket er temmelig svært for mig...

Dobbeltintegralet i #17 har jeg sat ind i mit lommeregner og det giver da ellers det samme?

Hvorfor kan man ikke skrive det op sådan?

∫₀¹∫_y¹[4-4x⁴-4y dxdy = ∫₀¹ [4x-(4x⁵/5)-4xy]₀¹dx  

ved ikk rigtig, hvordan jeg kommer videre om det er det fra #17 heller her