Matematik

vektor i rummet

20. oktober 2016 af georgehansen (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg kan slet ikke se en måde at tackle problemet, kunne godt bruge en hånd!

Vedhæftet fil: vektor opgave 7.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. oktober 2016 af mathon

Svar #2
20. oktober 2016 af georgehansen (Slettet)

Jeg kan kun se billedet af opgaven!

Brugbart svar (0)

Svar #3
20. oktober 2016 af mathon

En normalvektor til planen $\beta$
er:
$\overrightarrow{n}_\beta =\begin{pmatrix} 1\\2 \\ 1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\0 \\ -2 \end{pmatrix}$

En retningvektor $\overrightarrow{r}$ for planskæringslinjen/sporet
er:
$\overrightarrow{r}_1=\overrightarrow{n}_\alpha \times\overrightarrow{n}_\beta=\begin{pmatrix} 2\\-5 \\ 3 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 2\\0 \\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10\\10 \\ 10 \end{pmatrix}=10\cdot \overrightarrow{r}=10\cdot \begin{pmatrix} 1\\1 \\ 1 \end{pmatrix}$

hvor
$\overrightarrow{r}= \begin{pmatrix} 1\\1 \\ 1 \end{pmatrix}$ er mest bekvem.

Der mangler nu at blive bestemt et fast punkt P_o(x_o,y_o,z_o) på sporet.

Derefter haves
sporparameterfremstillingen

$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OP_o}+u\cdot \overrightarrow{r}$

$\begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_o\\y_o \\ z_o \end{pmatrix}+u\cdot \begin{pmatrix} 1\\1 \\ 1 \end{pmatrix}$

Svar #4
20. oktober 2016 af georgehansen (Slettet)

P₀ er det ikke skæringspunktet mellem de to planer? det er et punkt der ligger på linjen?

Brugbart svar (0)

Svar #5
20. oktober 2016 af Eksperimentalfysikeren

Indsæt højresiden for β i ligningen for α. Så har du en ligning med s og t som variable. Isoler den ene af dem, f. eks. t. Indsæt dette udtryk for t i parameterfremstillingen af β. Reducer udtrykket.

Svar #6
20. oktober 2016 af georgehansen (Slettet)

ligningen kommer til at hedde α:2(t+s+1)-5(2t-2)+3(3+t+s)-4=0 simplify 5s-5t-3=0

ved du hvorfor man ikke kan få lommeregneren til at regne ud hvad t og s skal være. det er som om jeg skriver noget forkert. den kan godt løse en ligning med 2 ubekendte.

Brugbart svar (0)

Svar #7
20. oktober 2016 af Soeffi

#0. Løsning i Geogebra. Tre punkter i beta er dannet ved at indsætte s=t=0, s=0/t=1 og s=1/t=0. Ud fra de tre punkter er planen tegnet.

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2016-10-20 kl. 22.51.46.png

Brugbart svar (0)

Svar #8
20. oktober 2016 af Eksperimentalfysikeren

Man kan ikke løse en ligning med to variable. Det kan lommeregneren heller ikke. Du kan isolere t i den sidste ligning og indsætte det i parameterfremstillingen for β.

Brugbart svar (0)

Svar #9
20. oktober 2016 af AMelev

#6 Vær opmærksom på, at en linje i rummet jo er givet ved parameterfremstilling, så du skal ende med en parameter (s eller t), og det får du netop ved at gøre som angivet i #8.

Kan du ikke få lommeregneren til at løse ligningen mht. t eller s?

Brugbart svar (0)

Svar #10
21. oktober 2016 af mathon

Ved indsættelse af koordinaterne for $x,y\; og\; z$ i $\alpha 's$ ligning
får man:
5s-5t+1=4

5s-5t=3

5s-5t+1=4

$s-t=\tfrac{3}{5}$

sættes heri
t=0
bliver
$s=\tfrac{3}{5}$
hvoraf
fællespunktet
$P_o=\left ( \tfrac{8}{5},2,\tfrac{18}{5} \right )$

dvs:

$\begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{8}{5}\\2 \\ \frac{18}{5} \end{pmatrix}+u\cdot \begin{pmatrix} 1\\1 \\ 1 \end{pmatrix}\; \; \; \; \; \; u\in\mathbb{R}$

Svar #11
21. oktober 2016 af georgehansen (Slettet)

mange tak for hjælpen - jeg takker

Brugbart svar (0)

Svar #12
21. oktober 2016 af fosfor

For at finde den linje begge planer indeholder, så kan du f.eks. vælge s således at plan β passer ind i ligningen for plan α. Først indsættes koordinaterne for plan β i ligningen for plan α:

2 * (1 + s + t) - 5 * (2 + 2 * t) + 3 * (3 + s + t) = 4

Isoler nu s eller t i ovenstående, f.eks. s:

s = 3/5 + t

Dvs. følgende er en parameter fremstilling for linjen:

Vedhæftet fil:Untitled.png

Skriv et svar til: vektor i rummet

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.