Matematik

opgave omkring skruelinje

12. december 2016 af hi1234 - Niveau: A-niveau

Jeg skal følgende løse en opgave som jeg kan ikke finde ud:

Vis, at skruelinje tangent i ethvert punkt danner den samme vinkel med tangenten til den cirkel, som er skæringskurve mellem cylinderen og en plan gennem punktet vinkelret på cylinderaksen?

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. december 2016 af peter lind

Det du skriver i #0 er ikke ligefrem letlæselig. Du kan se det i mere læselig form på https://da.wikipedia.org/wiki/Skruelinje

Svar #2
12. december 2016 af hi1234

Men, det opgaven jeg ikke forstår og opgaven er beskrevet sådan.

Brugbart svar (0)

Svar #3
12. december 2016 af Soeffi

#2

Du er nød til at have nogle formler. Hvilke er de?

Svar #4
12. december 2016 af hi1234

Tangents formel og cirklens formel og parameters formel.

Svar #5
12. december 2016 af hi1234

???

Brugbart svar (0)

Svar #6
13. december 2016 af Soeffi

#4

Prøv at skrive formlerne op så vi kan se dem.

Svar #7
13. december 2016 af hi1234

jeg har tænkt på, at vi skal bruge tagentens ligning: y=a*(x-x0)+y0

Brugbart svar (0)

Svar #8
14. december 2016 af Soeffi

#0 Vis, at skruelinje tangent i ethvert punkt danner den samme vinkel med tangenten til den cirkel, som er skæringskurve mellem cylinderen og en plan gennem punktet vinkelret på cylinderaksen?

Er det alt, der står i opgaven? Der mangler en tegning og nogle formler synes jeg. - Er cylinderens symmetriakse parallel med z-aksen i et tredimensionelt koordinatsystem.

Svar #9
15. december 2016 af hi1234

ja, det er den og det er alt som står i opgaven.

Svar #10
15. december 2016 af hi1234

formler og tegninger skal vi lave, dette er meningen med opgaven.

Brugbart svar (0)

Svar #11
16. december 2016 af Soeffi

#10

Hvis cylinderen er lodret skal du finde stedvektoren til parameterfremstillingen og dernæst hastighedsvektoren. Derefter skal du dele hastighedsvektoren op i en vandret og en lodret komposant. Til sidst skal du finde vinklen mellem de to komposanter som tan(v) = (længde af lodret komposant)/(længde af vandret komposant) = (radius af cylinder)/(lodret stigning pr. radian).

Da radius af cylinderen og den lodrette stigning pr. radian, som man drejer rundt i skruegangen begge er konstante, vil vinklen mellem tangent-vektoren til skruegangen og vandret også være konstant.

Svar #12
17. december 2016 af hi1234

kan du ikke hjælpe mig med at starte opgaven?

Brugbart svar (0)

Svar #13
17. december 2016 af Soeffi

Skruelinjen har parameterfremstillingen:

$\begin{bmatrix} x\\y\\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} r\cdot cos(\theta )\\ r\cdot sin(\theta )\\ k\cdot \theta \end{bmatrix}$

...hvor θ er parameteren og k er en konstant. Tangentvektoren til skruelinjen har parameterfremstillingen:

$\begin{bmatrix} x'\\y'\\ z' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -r\cdot sin(\theta )\\ r\cdot cos(\theta )\\ k \end{bmatrix}$

Denne har en komposant parallelt med xy-planen:

$\begin{bmatrix} x\\y\\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -r\cdot sin(\theta )\\ r\cdot cos(\theta )\\ 0 \end{bmatrix}$

Man skal finde vinklen, v, mellem tangentvektoren og den vandrette komposant. Det gøres ved ligningen:

$cos(v )=\frac{(-r\cdot sin(\theta ),r\cdot cos(\theta),k)·(-r\cdot sin(\theta),r\cdot cos(\theta),0)}{|(-r\cdot sin(\theta),r\cdot cos(\theta),k)||(-r\cdot sin(\theta),r\cdot cos(\theta),0)|}\Rightarrow$

$cos(v)=\frac{r^2\cdot sin^2(\theta)+r^2\cdot cos^2(\theta)}{\sqrt{r^2\cdot sin^2(\theta)+r^2\cdot cos^2(\theta)+k^2}\cdot r}\Rightarrow$

$cos(v )=\frac{r^2}{\sqrt{r^2+k^2}\cdot r} \Rightarrow cos(v )=\frac{r}{\sqrt{r^2+k^2}}$

Da højre side er en konstant, vil v også være det.

Svar #14
17. december 2016 af hi1234

Er opgaven så løst?

Skriv et svar til: opgave omkring skruelinje

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.