Andengradsligninger

Der gælder ikke √(-x^2 + 6x) = -x + 6.

Der gælder i stedet -(x - 3)² + 9 = -x² + 6x (*), og dermed

5  = - x^2 + 6x    - 3 
5  = -(x - 3)² + 9 - 3   (brug (*))
(x - 3)²  =  1              (flyt rundt)
x - 3 = ±1                 (tag kvadratrod på begge sider)
x = -3 ± 1

Forstår ikke din beregning i led 2...

Tror du måske, du kan forklare, hvad du gør undervejs?

På forhånd tak!

Gang ud:
-(x - 3)² + 9 = -(x² - 2*3*x + (-3)²) + 9 = -x² + 6x - 9 + 9 = -x² + 6x

Derfor kan -x² + 6x i led 2 udskiftes med -(x - 3)² + 9

Generelt når du har
a x² + b x
kan det udskiftes med
a (x + b/a/2)² - b²/a/4

Hvor, i dit tilfælde, a=-1, b=6, og dermed b/a/2 = -3 og -b²/a/4 = 9

Ja okay, jeg er med nu. 1000 tak for din hjælp!

Tænker du, at du måske også kan hjælpe mig med at løse opg. 2? 

Hejsa,

du skriver

f(5) = - x^2 + 6x -3

i dette trin er der sket en misforståelse: på venstresiden betegnes der en funktionsværdi , hvor der bør stå tallet 5 idet der i opgaven står at du skal løse ligningen   . Det næste trin skriver du ligningen faktisk korrekt samt at du trækker -3 fra på begge sider, dvs. du får nu ligningen  . Men dernæst skriver du

kvadratrod af 8 = kvadratrod af -x^2 +6

2.83 = -x + 6

Selvom du laver en legitim handling (at tage kvadratroden på begge sider ) har du lavet 3 fejl: på venstresiden tænker du at    : tallet 2.83 er kun en tilnærmet værdi af   og som du sikkert har fundet ud af, er der uendelig mangde decimaler. Derfor er  . De to andre fejl sker på højresiden: her har du glemt at der faktisk står  , og ikke    . Det sidste er at du tager kvadratroden af sidstnævnte udtryk og får   : dette er ikke korrekt for alle x-værdier. Ud fra dine udregninger viser det sig at du forstår reglerne for at løse en ligning, men laver sjuskefejl hen ad vejen samt en uhensigsmæssigt beslutning (at tage kvadratroden). Prøv at være mere opmærksom på det du laver, dvs. reflektér over om dine mellemregninger er korrekt eller ej. Dermed vil du formentlig lave færre lignende fejl i fremtiden.

Hej igen,

du skriver med hensyn til nr. 2:

Desværre har jeg ingen idé om, hvordan jeg præcist skal udregne værdierne for tallet k, men kunne tænke mig til, at jeg muligvis skulle bruge formlen for andengradsligninger..?

okay du har en ide, men kan du mon uddybe den? Hvad er formlen for andengradsligninger?

Mange tak for dit konstruktive kritik, det vil jeg uden tvivl benytte mig af i fremtiden :) 

Du nævner, at det ikke er korrekt for alle x-værdier, hvis jeg vælger at tage kvadratroden af sidstnævnte udtryk.  Men hvad kunne en anden mulighed så være?

Først skal man finde diskriminanten, som betegnes med bogstavet d. Diskriminanten fortæller os, hvor mange løsninger en andengradsligning har.

Hvis d er positiv, så har ligningen 2 løsninger.

Hvis d = 0, har ligningen én løsning.

Hvis d er negativ ( d = 0) så er der ingen løsninger.

Man beregner diskriminanten ved formlen:

d = b^2-4ac

Hejsa,

du skrev fejlen  og tager kvadratroden af fejlen, dvs.   og får resultatet  . Som jeg forstår det mener du at .  Ups!!! Nu har jeg lavet en fejl. Tja ...det er hvad der kan ske hvis man gør tingene i hoved. Okay, hvis du mener at   så gælder denne ligning ikke for nogen reelle x-værdier. Denne ligning har faktisk to løsninger, men disse er komplekse tal Eftersom du kun arbejder med de reelle tal, må vi derfor forholde med disse. Du skriver i #8

Men hvad kunne en anden mulighed så være?

Her gætter jeg på at du mener en anden løsningstrategi end den du hidtil har brugt: du har jo i #1 at

. Hvad hvis du trækker 8 fra på begge sider? Hvad så?

Hejsa,

det du skriver i #9 er korrekt. Nu har du en løsningsstrategi til begge dine opgaver- meget flot! Forsæt med det go'e arbejde.

Hvis jeg trækker 8 fra på begge sider:

8-8 = -x^2 + 6x - 8

-x^2 + 6x - 8

Ups med #12! Hvis du starter med en ligning, skal du også ende med en ligning. Hvor tror du fejlen ligger?

Det er nemlig det, jeg er usikker på... 

Jeg ved, at jeg skal reducerer udtrykket for -x^2 + 6x, men hvordan jeg gør, ved jeg ikke... Derfor var min påstand at tage kvadratroden af -x^2

Hejsa,

du skriver

Jeg ved, at jeg skal reducerer udtrykket for -x^2 + 6x

ahaa! Nej du skal ikke reducere udtrykket, men derimod løse en ligning: at reducere vil sige at forkorte et udtryk mest muligt, hvorimod at løse en ligning er at finde de værdier for hvilket ligningen er sandt? Du har

. Hvis du trækker 8 fra på begge sider får . Du ved at 8-8 er lig nul, men det undlod du at skrive samt lighedstegnet, fyfy. Hvis du bruger det du skrev i #9 hvad får du så? Forresten, husk at #9 kan også hjælpe dig med at løse opgave 2.

a = -1

b = 6

c = -8

altså, d = b^2-4*ac

d = 6^2-4*(-1)*(-8) = 4

Okay, du har udregnet diskriminanten til at være 4 - godt! Hvad er så formlen for en andengradsligning?

ax^2 + bx + c = 0 ??

Nej. I #18 viser du den generelle 2.gradsligning. Med formlen mener jeg løsningsformlen dvs.x=...

og bruger denne formel får du dine svar.

Argh, okay.

Så: x = (-b +(-) kvadratrod d) / 2a