Matematik
Gør rede for om Fourierrækken konvergerer punktvist og eller uniformt
Betragt funktionen i der opfylder, at når . Jeg skal da gøre rede for, hvorvidt Fourierrækken for f konvergerer punktvist eller uniformt på den reelle akse.
Da umiddelbart ikke er standard notation, vil jeg lige definere, hvad vi mener:
Lad betegne mængden af de funktioner der opfylder, at
1. f er periodisk med periode
2. f er stykkevist kontinuert på intervallet
3. f er normaliseret i sine diskontinuitetspunkter
Ligeledes
Lad betegne mængden af de funktioner der opfylder, at
1. f er periodisk med periode
2. f er stykkevist differentiabel på intervallet
3. f er normaliseret i sine diskontinuitetspunkter
Da siger sætninger i min bog, at:
Hovedsætning 1. Fourierrækken for en funktion konvergerer punktvist mod f overalt på den reelle akse.
Hovedsætning 2. Hvis og tillige er konitnuert på den reelle akse, så konvergerer Fourierrækken for f univormt på R mod f.
Jeg har i en tidligere opgave vist, at f(x) er en sammensætning af kontinuerte funktioner, hvormed f specielt selv er en kontinuert funktion, hvormed vi kan regne
og
hvilket specielt vil sige, at f er kontinuert i og antager værdierne og . Nu er det her, jeg føler, at det går galt, da jeg har fået at vide, at f kun er 2 pi periodisk såfremt, at
hvilket jo netop ikke er tilfældet i mit tilfælde. Men hvordan kan f så ligge i , når dette jo netop er et krav? Og vil det ikke blot sige, at Fourierrækken for f ikke konvergerer punktvist eller uniformt? Eller er der noget, jeg misforstår?
Kan I hjælpe mig?
Svar #1
24. maj 2020 af chyvak
Det eneste du overser er formodentligt at f er defineret på et åbent interval -L < x < L. Det giver derfor ikke mening at tale om f(L). Så perioditetskravet således som du har opskrevet det er ikke gyldigt.
En passent kan nævnes at hvis rækken er konvergent vil den i multipla af L konvergere mod (f(L+) + f(L-))/2, men det ved du sikkert allerede.
Svar #2
24. maj 2020 af Mathias7878
Tak for hjælpen. Men jeg bliver faktisk bedt om i første opgave, at gøre rede for hvilke værdier f(x) antager i . Betyder det så ikke, at jeg skal finde grænsen, som jeg gør, og da grænserne eksisterer gælder, at f(x) er kontinuert i og således antager værdierne og ?
Med hensyn til mit oprindelige spørgsmål: Konvergerer Fourierrækken for f punktvist og eller uniformt på R, skal jeg så bare argumentere for, hvorvidt de overholder betingelserne i hovedsætningerne?
Det eneste, jeg egentlig ikke forstår er, om hvorvidt f(x) er 2 pi periodisk? Der skal vel gælde, at
hvilket jo ikke er gældende. Betyder det så, at Fourierrækken ikke konvergerer punktvist eller uniformt på R?
Svar #3
24. maj 2020 af chyvak
Det er kun på intervallet ]-pi,pi[ at f(x) = 6x + 2. Forskriften er anderles i andre peridicitetsintervaller. Tag for eksempel intervallet ]pi, 3pi[. Vi definerer at for x i ]pi,3pi[ er f(x) = f(x-2pi) for x i ]-pi, pi[, eller at f(x) = 6x + 2(1-6pi) for x i ]pi, 3pi[. Og så fremdeles.
Svar #4
24. maj 2020 af Mathias7878
Det giver god mening. Tak :)
Men kan jeg så godt sige, fordi f ligger i , så er f periodisk med periode og ligeledes normaliseret i sine diskontinuitetspunkter og da f er en sammensætning af velkendte differentiable funktioner på R, så er f selv differentiabel på R og dermed også differentiabel i intervallet . Dvs. det følger af hovedsætning 1, at hvormed Fourierrækken for f konvergerer punktvist mod f på R.
Ligeledes, da og da f(x) er en sammensætning af velkendte kontinuerte funktioner, så er f selv en kontinuert funktion på R og dermed også på intervallet . Det følger således af den anden hovedsætning, at Fourierrækken for f konvergerer uniformt på R.
Er dette korrekt beskrevet/forstået?
Tak for hjælpen ellers.
Skriv et svar til: Gør rede for om Fourierrækken konvergerer punktvist og eller uniformt
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.