Sammenhæng mellem eksponentiel vækst og renteformlen.

Det kan du se i formel 99 side 19 i din formelsamling

#0 

Jeg [er] meget i tvivl om sammenhæng[en] mellem eksponentiel vækst [og renteformlen] , da vi aldrig i undervisningen har arbejdet decideret med sammenhængen. 

Du ved at renteformlen (eller kapitalfremskrivningsformlen) skrives som K_n = K₀·(1+r)ⁿ. Ligeledes ved du at den eksponentielle vækst kan skrives som funktionen y = b·e^x. Hvis din startkapitel K₀ er på 1 kr. til en rente på 100% vil den fordobles i værdi efter 1 år, dvs. slutkapitalet er K₁ = 1·(1+1)¹=2 kr. . Her er der tale om en årlig rentetilskrivning. Vi betragter følgende rentetilskrivninger. .

Halvårlig rentetilskrivning:  K₂ =1·(1+½)² = 2,25 kr. 

Kvartårlig rentetilskrivning: K₄ =1·(1+1/4)⁴ ≈ 2,44141 kr.

Månedlig rentetilskrivning: K₁₂ =1·(1+1/12)¹² ≈ 2,613035 kr.

Ugentlig rentetilskrivning  K₅₂ = 1·(1+1/52)⁵² ≈ 2,69259 kr. 

Daglig rentetilskrivning  K₈₇₆₆ = 1·(1+1/₈₇₆₆)⁸⁷⁶⁶ ≈ 2,7181267978 kr.

Fortsætter vi med at øge antallet at rentetilskrivninger, vil vi opdage, at vores slutkapital nærmer sig et bestemt tal, som er Eulers tal e som fremgår i den eksponentielle vækst - den er ca. 2.71828.  Dér har du så en sammenhæng mellem renteformlen og eksponentielle vækst.

Hvis en bakterie efter 30 min. deler sig i to, vil populationen have en eksp. vækst:

Så "renten" af bakteriens vækst efter 30 min. er 100%.

Renteformlen, også kaldet Fremskrivningsformlen: , hvor K_n er saldoen efter n terminer, når et beløb K₀ står urørt og bare trækker renter med en terminsrentefod r.

Eksponentiel vækst kan beskrives med ligningen:  

Hvis du omdøber navnene i renteformlen, så K_n kaldes y, K₀ kaldes b, (1+r) kaldes a og n kaldes x, så får du netop den sædvanlige ligning for en eksponentiel vækst.
De har altså sammme "formel-udseende", men de er ikke helt ens, for der er begrænsninger på n i renteformlen, idet n skal være et ikkenegativt, helt tal, da det er et antal. Alle reelle tal kan derimod indsættes for x i en eksponentiel vækst

Der skulle, for så vidt, ikke være hindringer i vejen for, at eksponenten i rentefremskrivningsformlen
kunne være ikke-heltallig. Lad os forestille os et beløb sættes urørt på rente i en vis tid, og hele
det forrentede beløb derefter hæves imellem to på hinanden følgende rentetilskrivninger.
Hvis jeg husker rigtigt, har der herinde været en opgave med dette tilsnit.

# 5  Eksempel:
k_5,5 = k₀(1 + r)^5,5 = k₀(1 + r)⁵(1 + r)^0,5
 

Nej, ikke bortset fra, at sådan bliver det ikke brugt. Det sidste bliver regnet om til fx antal dage.