Matematik

Julemandens korteste vej

18. december 2023 af SuneChr - Niveau: A-niveau

. SP 181220230243.PNG

Vedhæftet fil: SP 181220230243.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
18. december 2023 af Christianfslag

Lad os definere de to funktioner som hhv. $\small f(x)=-x^2, g(x)=\frac{1}{x}$ .

Lad os nu definere en tredje funktion, D(x), der udtrykker differensen mellem de to allerede kendte funktioner. $\small D(x)=|f(x)-g(x)|=|-x^2-\frac{1}{x}|$ .

Med den afledte af D(x) kan vi finde ekstrema, lad os differentiere D(x).

$\small D'(x)=\frac{d}{dx}|-x^2-\frac{1}{x}|$

$\small D'(x)=-2x+\frac{1}{x^2}$ , fordi $\small (x^n)'=n\cdot x^{n-1}$ og $\small (\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}$

Lad os da finde ekstrema for vores nye funktion, D(x), ved at løse for x i følgende $\small D'(x)=0$ .

$\small -2x+\frac{1}{x^2}=0$

$\small -2x^3+1=0$ (begge sider multipliceret med $\small x^2$ )

$\small -2x^3=1$

$\small x^3=\frac{1}{2}$

$\small x=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

Vi indsætter x-værdien i vores differens-funktion, D(x), for at evaluere afstanden.

$\small D(\frac{1}{\sqrt[3]{2}})=|-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}^2-\frac{1}{\frac{1}{\sqrt[3]{2}}}|\approx 1.9$

Nu er spørgsmålet blot, hvilken enhed skal Julemanden rejse 1.9 af?

Svar #2
18. december 2023 af SuneChr

# 1 ad 4) Julemanden må vælge en kortere rute over havet for at kunne nå ud med de sidste pakker.

Brugbart svar (0)

Svar #3
18. december 2023 af Christianfslag

#2
# 1 ad 4) Julemanden må vælge en kortere rute over havet for at kunne nå ud med de sidste pakker.

Jeg kan godt, ved grafisk afbildning, se, at der findes en kortere rute. Umiddelbart må min fejl være, at jeg kun tager højde for den korteste lodrette afstand.

Svar #4
18. december 2023 af SuneChr

Kortet over havet og landområderne A og B har nord ad y-aksens orientering.
# 3) Julemandens kompas skal rettes i nord-østlig retning.

Brugbart svar (0)

Svar #5
18. december 2023 af M2023

#0. Løsning i Geogebra.

Vedhæftet fil:afstand.png

Svar #6
18. december 2023 af SuneChr

# 5 ser ikke værst ud.
Lad os, ad analytisk vej, finde korteste rute.
Kald førstekoordinaten på A's kystlinje for a og på B's kystlinje for b
og lad endvidere q være kvadratet på afstanden mellem kystlinjerne.
Vi har
q = (b - a)² + (¹/_b + a²)²

$\frac{\partial q}{\partial a}=2\left ( a-b+2a^{3}+\frac{2a}{b} \right )$

$\frac{\partial q}{\partial b}=2\left ( b-a-\frac{1}{b^{3}}-\frac{a^{2}}{b^{2}} \right )$

Vi sætter hver af de to parenteser lig med nul og løser ligningerne, hvor a og b begge er positive.
a = 0,3791... b = 1,1483... $\sqrt{q}$ = 1,27...

Julemanden når at få alle pakkerne ud.

Brugbart svar (0)

Svar #7
18. december 2023 af M2023

#5. En iterativ metode. Man starter med punktet A og tegner en cirkel der rører grafen for 1/x. Dette giver B, der er det punkt på grafen til 1/x der er tættest på A. Fra B tegnes en cirkel, der rører grafen for -x². Dette er C. Således fortsættes indtil til afstanden fra det ene forsøg til det næste afviger med mindre end det, som man kræver i præcision.

Afstanden |DE| = 1,3.

Vedhæftet fil:afstand2.png

Skriv et svar til: Julemandens korteste vej

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.