Omdrejningslegemer og andre nyttige anvendelser af Integralregning

Hov! Jeg kom i tanke om at det nok var værd at nævne at opgaven starter med at jeg skal bevise arealet af punktmængder mellem to grafer. Jeg har tænkt over at der kunne være noget der med 2 omdrejningslegemer på samme tid og punktmængden mellem dem? Men igen, ikke noget vi rigtig har dækket meget i pensum

Hej ThoTho,

Så vidt jeg har forstået dit spørgsmål korrekt, undrer du dig over, at du kun skal inddrage formlen til bestemmelse af voluminet af et omdrejningslegeme samt forklare hvordan formlen bruges. - Og at du i stedet bedes om at bevise Integralregnings Hovedsætning, og at du er i tvivl om, hvordan du skal kolbe beviset til spørgsmålet "Forklar, hvordan rumfang af et omdrejningslegeme kan bestemmes..."

Når jeres lærer udarbejder eksamensspørgsmålene til den mundtlige eksamen, er der ofte stillet nogle formelle krav til udformningen af spørgsmålene, i form af at der f.eks maksimalt må være to elever, der trækker det samme spørgsmål, samtidig med at der er stillet krav til, at eksamensspørgsmålene skal nå rundt om pensum. Af den grund indeholder eksamenspørgsmålene ofte ikke kun et spørgsmål, men derimod flere spørgsmål, som så hører ind under samme emne; i dette tilfælde er det overordnede emne integralregning. Dertil sker det ofte også, at det samme bevis går igen i flere af spørgsmålene. 

Du skriver i #1, at at eksamenspørgsmålet starter med noget i retning af "...bevise arealet af punktmængder mellem to grafer..." I forhold til den del af spørgsmålet, er Integralregningens Hovedsætning meget aktuel, idet den er grundlag for, at vi, hvis vi kender en stamfunktion, på meget simpel måde kan bestemme det areal, der afgrænses under grafen. Integralregnings Hovedsætning er altså, som med alle hovedsætninger i matematikken, en grundlæggende sætning i integralregningen.

Sidst, spørger du ind til hvilket eksempel du kan tage udgangspunkt i, i forhold til nyttige anvendelser af integralregningen. Eksemplet med at referere til normalfordelingen, synes jeg er et rigtig godt eksempel. Integralregningen har et hav af nyttige anvendelser, men et af dem kan f.eks være, at vi gerne ville undersøge hvor meget vand en vase kan indeholde. Andre eksempler på nyttige anvendelser af integralregning optræder også i høj grad i fysikken. Især i form af differentialligninger, vi ikke kan løse uden integralregningen. Et par eksempler på det, kan være Henfaldsloven, der siger hvordan antallet af kerner henfalder som en funktion af tiden, eller i kinematikken, hvor hvor integralregningen bliver brugt til at løse de differentialligninger hastigheds- og postionsformlerne er udledt udfra.

Tak for svar :)

Den sidste del af dit svar hjalp rigtig meget, jeg tror jeg hiver fat i henfaldsloven.

Den første del kan jeg godt forstå du blev forvirret på, det var kringlet formuleret. Altså: Jeg har fået en række spørgsmål til bare ét af de overordnede emner jeg kan trække. Denne her er Integralregning og den starter med at jeg skal bevise formlen for arealer mellem punktmængder. Men så kommer spørgsmålet med omdrejningslegemet. Jeg har lige lavet et bevis og spørgsmålet bruger ordet "Forklar" så jeg tænker ikke jeg skal lave beviset for denne formel. Som sagt er Integralregningens hovedsætning linket til spørgsmålene men den skal åbenlyst bruges til nogen af dem. Mit spørgsmål lyder: Hvordan kunne det tænkes at det var meningen at jeg skulle besvare: Forklar, hvordan rumfang af et omdrejningslegeme kan bestemmes med (derefter formlen til netop denne).

Jeg har altså ikke brug for hjælp til arealet mellem punktmængder, men til spørgsmålet om omdrejningslegemer.

Selv tak :)

Jeg beklager, at jeg ikke var helt med på hvad du mente til at starte med - nu er jeg helt med. Det er, som du skriver, helt korrekt, at du ikke skal inddrage et bevis, når der blot står "forklar".

"Forklar, hvordan rumfang af et omdrejningslegeme kan bestemmes med (derefter formlen til netop denne)."

Jeg ville gribe det an, med at sige noget i stil med: 

Vi betrager arealet under grafen for en kontinuert funktion^(*) i et givent interval fra a til b, [a, b]. Vi roterer nu punktmængden omkring x-aksen i positiv omløbsretning. Herved fremkommer en rummelig figur, kaldet et omdrejningslegeme. Voluminet, også kaldet rumfanget, af omdrejningslegemet kan beregnes ved formlen 

V = π·∫_a^b(f(x))²dx. 

Når vi kigger på formlen, kan vi se at definitionen på arealet af en cirkel, A = π·r², indgår. Hvis vi forstiller os, at det areal vi roterer rundt om x-aksen er inddelt i en masse små rektangler (kaldes også på fint for integralsummer), og hvert af disse arealer har bredden ∂x "delta x", så vil vi få en masse cirkelformede skiver. Hvis vi tager hver af de cirkelformede skiver med bredden ∂x, ganger med pi og cirkelskivens radius, får vi arealet af cirkelskiverne. Når vi summerer arealet af alle cirkelskiverne får vi altså summen over π·r²·∂x. Men da radius jo netop er lig med funktionsværdierne f(∂x), så fås (skrevet med summationstegn) Σπ·(f(∂x))²·∂x. Vi forstiller os nu, at vi lader bredden af ∂x blive uendeligt lille. Når bredden af rektanglerne med størrelsen ∂x bliver uendelig små, bliver summationstegnet, af definitionen på det bestemte integral, til et integraltegn, mens størrelsen ∂x bliver til dx. Altså ser vores formel ud som den gør.

(*) Med kontinuert, menes der i dette tilfælde en funktion, vis graf man kan tegne uden at løfte blyanten fra papiret. Den mere præcise definition inkluderer en klasse af funktioner, epsilonfunktionerne, som ligger udenfor hvad man kan kræve på gymnasielt niveau.

Jeg håber det giver mening. Hvis ikke, skriver du selvfølgelig bare igen - så vil jeg gerne uddybe.

Hvis du har brug for hjælp til hvordan du skal inddrage eksemplet med Henfaldsloven, må du også endelig skrive igen. Så vil jeg meget gerne, på bedst mulig vis, forsøge også at hjælpe med det:)

Forlængelse til #4:

Hvis du gerne vil lidt mere i dybden med, hvordan summationstegnet bliver til et integraltegn, og hvordan ∂x bliver til dx, kan du eventuelt kigge på definitionen af det bestemte integral (Riemann-Integralet), som bliver forklaret omkring 8 minutter inde i forelæsningen:

https://www.youtube.com/watch?v=cdscw5gUVzQ&t=521s

Jeg ved godt, at det er lidt over niveau, men du virker dygtig, så jeg tror godt, at du vil kunne forstå det:) Det er i hvert fald kun, hvis du vil have en forklaring på hvordan det hele hænger sammen, idet jeg forklarede ovenfor.

Undskyld jeg forstyrrer igen.. ,:)

Fandt lige denne video, som jeg også synes forklarer det med integralsummerne supergodt:

https://www.youtube.com/watch?v=Lsv-eJXXT5g

Hvis du har brug for hjælp til hvordan du skal inddrage eksemplet med Henfaldsloven, må du også endelig skrive igen. Så vil jeg meget gerne, på bedst mulig vis, forsøge også at hjælpe med det:)

Hej jeg ved godt der er gået en uge, men dit svar hjalp mig virkelig meget. Hvis du stadig er frisk på at hjælpe med eksemplet om henfaldsloven, kunne jeg godt bruget det :)

Henfaldsloven
Lad N(t) betegne antallet af radioaktive kerner til tiden t og lad k betegne henfaldskonstanten.
Lad endvidere N(0) betegne antallet af radioaktive kerner til tiden t = 0.
Henfaldshastigheden N'(t) forventes at være proportional med det for hånden værende antal
radioaktive kerner. Vi opstiller derfor følgende forhold:    N'(t) = - k·N(t)    hvor minus betyder,
at antallet af radioaktive kerner falder med tiden.
N'(t) kan vi også skrive som 
Med lidt manipulation isoleres dt , hvorefter vi får en ligning, som er integrérbar på begge sider
af lighedstegnet. Prøv det - og hvis du kører galt i svinget, så kør ind til nærmeste nødhjælpspost.
 

#8

Hej - Jeg er glad for at høre, at det kunne bruges:)

Jeg vil meget gerne hjælpe med henfaldsloven. Jeg kan se, at Sune allerede har givet et svar i #9. Hvis du har brug for hjælp til at løse differentialligningen/udledningen i #9, vil jeg gerne hjælpe yderligere.

Jeg har prøvet at vise udledningen af Henfaldsloven på bilaget.

Brug det som en rettesnor, til at se om du er på rette vej, men prøv så vidt muligt selv først, udfra informationerne i #9. -Og du spørger selvfølgelig bare, hvis der er nogle af trinnene du ikke forstår, eller gerne vil have en forklaring på:)

"Tavle" 1:

"Tavle" 2: