Matematik

Afskåren paraboloide

12. april kl. 03:58 af SuneChr - Niveau: A-niveau

Givet funktionen
   z = f(x , y) = - (x² + y²) + 9
     og planen
   z = x + 3
Rumfanget af den afskårne top af paraboloiden ønskes beregnet.
Jeg har da med opstillingen   $\pi \int_{0}^{9}\xi \textup{d}\xi -\int_{x=-3}^{3}\int_{y=-\sqrt{9-x^{2}}}^{\sqrt{9-x^{2}}}\int_{z=0}^{x^{2}+y^{2}+x-6}1\textup{d}z\textup{d}y\textup{d}x$
forsøgt beregnet rumfanget begrænset alene af paraboloiden og skråplanet.
Ad anden vej, - er rumfanget af den afskårne top beregnet til 61,35...
dog uden overensstemmelse med ovenstående opstilling.
Den øvre z-grænse i integralet er funktionen for skråplanet minus funktionen for paraboloiden,
og det er muligvis (også) dér, hunden kan ligge begravet?
Er der en, der har mod på at kigge på opgaven, som jeg i øvrigt selv har stillet, vil jeg være
taknemmelig - og helst uden en parametrisk løsning, men vil dog gerne se den.                 _SuneChr

Brugbart svar (1)

Svar #1
12. april kl. 13:49 af M2023

#0. Jeg har prøvet at integrere over selve legemet uden at trække noget fra. Jeg får integralet:

$V=\int_{-3}^{3}\int_{-\sqrt{-x^2-x+6}}^{\sqrt{-x^2-x+6}}9-(x^2+y^2)-(x+3)\;dydx$

Jeg har ikke prøvet at regne det ud.

Svar #2
12. april kl. 17:33 af SuneChr

Se så. Der hvor hunden lå begravet, ser ud til at give pote.
Tusind tak for opmærksomheden.
Skæringskurven, projiceret ned på xy planen, giver her en cirkel med centrum (- ¹/₂ , 0 , 0) radius = ⁵/₂
Det skulle give integrationsgrænsen - 3 ≤ x ≤ 2 for det første integral.
Jeg finder overensstemmelse med integralets værdi, ^625π/₃₂, og værdien som nævnt i # 0 .
Ved integrationen med intervallet |x| ≤ 3 fik jeg en realdel og en imaginærdel, men med
integrationsgrænsen - 3 ≤ x ≤ 2 forsvandt imaginærdelen, og realdelen forblev den samme.

Brugbart svar (0)

Svar #3
12. april kl. 18:20 af M2023

#2. Det er rigtigt: Skæringspunkterne mellem planen og paraboloiden langs x-aksen er x = -3 og x = 2, idet:

y = 0 og x + 3 = 9 - x² ⇔ -x² - x + 6 x = 0 ⇔ x = -3 ∨ x = 2

Brugbart svar (0)

Svar #4
13. april kl. 09:38 af M2023

#3. Jeg får følgende i Wolfram Alpha:

$\int_{-3}^2 \int_{-\sqrt{6 - x - x^2}}^{\sqrt{6 - x - x^2}} (9 - (x^2 + y^2) - (x + 3)) dy dx = \frac{625\pi}{32}\approx 61.359$

Brugbart svar (0)

Svar #5
13. april kl. 16:32 af M2023

#4. Jeg får resultatet 61.3592 - 7.28902 i med Wolfram Alpha, hvis jeg bruger grænserne -3 og 3. Imaginærdelen opstår, fordi radikanderne under kvadratrodstegnene bliver negative for x > 2.

Skriv et svar til: Afskåren paraboloide

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.